笔记整理来自《清风数学建模课程》 哔哩哔哩相关课程链接

目录

一、总体和样本

二、总体皮尔逊Person相关系数

三、样本皮尔逊Person相关系数

 四、相关性可视化

五、关于皮尔逊相关系数的一些理解误区

（一）容易犯错的点

（二）总结

六、对相关系数大小的解释

七、例题——计算皮尔逊相关系数

 （一）描述性统计

1. matlab编程

 2. Excel处理

 3.SPSS处理

 （二）皮尔逊相关系数计算

1. 画矩阵散点图（看变量之间是否是线性的关系）

2. 皮尔逊相关系数的计算

 3. 美化皮尔逊相关系数表格

总体 ——所要考察对象的全部个体叫做总体.我们总是希望得到总体数据的一些特征（例如均值方差等）

样本 ——从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本.

计算这些抽取的样本的统计量来估计总体的统计量：例如使用样本均值、样本标准差来估计总体的均值（平均水平）和总体的标准差（偏离程度）。 例子： 我国10年进行一次的人口普查得到的数据就是总体数据。 大家自己在QQ群发问卷叫同学帮忙填写得到的数据就是样本数据。

如果X、Y变化方向相同，即当X大于（小于）其均值时，Y也大于（小于）其均值，在这两种情况下，乘积为正。如果X、Y的变化方向一直保持相同，则协方差为正；同理，如果X、Y变化方向一直相反，则协方差为负；如果X、Y变化方向之间相互无规律，即分子中有的项为正，有的项为负，那么累加后正负抵消。

注意：协方差的大小和两个变量的量纲有关，因此不适合做比较。

 皮尔逊相关系数也可以看成是剔除了两个变量量纲影响，即将X和Y标准化后的协方差。皮尔逊相关系数反映的是一种线性相关系数。

样本协方差和样本标准差的分母是n‐1 。

通过绘制散点图可以很容易地判定两个数据对象x和y之间的相关性。

皮尔逊相关系数越接近于1或者-1，X和Y的关系越接近于一条直线。当相关系数为0时，可以看出，X和Y的规律不怎么明显，但是肯定不是线性的关系。 

下面四个散点图对应的数据的皮尔逊相关系数均为0.816

 图2明显不是线性的关系，图3和图4说明皮尔逊相关系数容易受到异常值的影响（如果没有异常点，正常的图像应该为红线所示。特别是图4，如果没有异常点，皮尔逊相关系数应该为0，X和Y是没有关系的）。

相关系数计算结果为0

虽然计算出的皮尔逊相关系数为0，但是不能说明X和Y完全没有关系，这里可以明显看出X和Y应该为二次函数的关系。

为什么会出现上述的结果呢？

原因：皮尔逊相关系数只是用来衡量两个变量线性相关程度的指标；也就是说，你必须先确认这两个变量是线性相关的，然后这个相关系数才能告诉你他俩相关程度如何。

（1）非线性相关也会导致线性相关系数很大，例如图2。 （2）离群点对相关系数的影响很大，例如图3，去掉离群点后，相关系数为0.98。 （3）如果两个变量的相关系数很大也不能说明两者相关，例如图4，可能是受到了异常值的影响。 （4）相关系数计算结果为0，只能说不是线性相关，但说不定会有更复杂的相关关系（非线性相关），例如图5。

（1）如果两个变量本身就是线性的关系，那么皮尔逊相关系数绝对值大的就是相关性强，小的就是相关性弱； （2）在不确定两个变量是什么关系的情况下，即使算出皮尔逊相关系数，发现很大，也不能说明那两个变量线性相关，甚至不能说他们相关，我们一定要画出散点图来看才行。

 越接近于1或者-1相关性越强。

上表所定的标准从某种意义上说是武断的和不严格的。对相关系数的解释是依赖于具体的应用背景和目的的（比如要求比较高的时候，可以说0.9-1才是强相关）。事实上，比起相关系数的大小，我们往往更关注的是显著性。 （假设检验）

现有某中学八年级所有女学生的体测样本数据，请见下表，试计算各变量之间的皮尔逊相关系数。

Matlab中基本统计量的函数（一般用标粗的）：

这些函数默认都是按列计算，如果令第二个参数为1，则变为按行计算。

 然后将matlab中RESULT中的数据粘贴到Excel中即可。下面表格是描述性统计结果：

第一步：选择【数据】【数据分析】【描述统计】

 第二步：选择数据所在的区域以及输出区域。

输出结果（根据需要整理）

第一步：将excel中的数据导入到SPSS中，选择【分析】【描述统计】【描述】

第二步：勾选自己需要统计的值

统计结果（统计结果整理可看问卷与量表数据分析（SPSS+AMOS）学习笔记（六） ： SPSS 描述性统计分析）：

第一步：选择【图形】【旧对话框】【散点图/点图】

第二步：选择【矩阵散点图】【定义】

 第三步：将变量全部放进【矩阵变量】中

输出结果：

 可以发现，变量之间大多数不是线性关系，所以用皮尔逊相关系数是不能说明两个变量之间的相关关系的。下面的内容假设变量之间是线性相关的，我们该如何求其皮尔逊相关系数呢？

matlab代码：

R = corrcoef(A)  返回 A 的相关系数的矩阵，其中 A 的列表示随机变量（指标），行表示观测值（样本）。 R = corrcoef(A,B) 返回两个随机变量 A 和 B （两个向量）之间的系数。 我们要计算体测的六个指标之间的相关系数，只需要使用下面这个语句： R = corrcoef(Test); 

输出结果：

第一步：调整行高和列宽，保证表格差不多为正方形。保留小数点后四位即可。

 第二步：【开始】【条件格式】【色阶】，任意选择一种色阶样式

第三步：【条件格式】【管理规则】【编辑规则】。将最大值调整为1，最小值调整为-1，中间值调整为0.

 最终结果：

 颜色越深，代表相关系数越大。