4.|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法

解法一:可以利用绝对值的几何意义.(简称几何法)

解法二:利用分类讨论的思想,以绝对值的“零点”为分界点,将数轴分成几个区间,然后确定各个绝对值中的多项式的符号,进而去掉绝对值符号.(简称分段讨论法)

解法三:可以通过构造函数,利用函数图像得到不等式的解集.(简称图像法)

由上可以看出:解含有绝对值的不等式,关键在于利用绝对值的意义设法去掉绝对值符号,把它转化为一个或几个普通不等式或不等式组(即不含绝对值符号的不等式)。

特别提醒对于绝对值不等式|x-a|-|x-b|≤c和|x-a|-|x-b|≥c,也可采用上述三种方法进行求解.

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|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法

【例1】解下列不等式:

(1)|5x-2|≥8;(2)2≤|x-2|≤4.

分析(1)直接利用|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法求解;(2)转化为不等式组求解.

由|x-2|≥2,得x-2≤-2或x-2≥2,

所以x≤0或x≥4.

由|x-2|≤4,得-4≤x-2≤4,所以-2≤x≤6.

故原不等式的解集为{x|-2≤x≤0或4≤x≤6}.

反思感悟 形如|f(x)|≤a(a>0)和|f(x)|≥a(a>0)型的不等式,均可采用等价转化法进行求解,即|f(x)|≤a⇔-a≤f(x)≤a,|f(x)|≥a⇔f(x)≤-a或f(x)≥a.

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|x-a|±|x-b|≤c和|x-a|±|x-b|≥c型不等式的解法

【例2】解下列不等式:

(1)|x+1|+|x-1|≥3;(2)|x-3|-|x+1|0.

(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集;

(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值.

分析(1)化为|ax+b|≥c型不等式求解;

(2)先解不等式f(x)≤0,得出解集后与集合{x|x≤-1}相等,进而得到a的值.

解(1)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为|x-1|≥2,即x≤-1或x≥3,故不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x≤-1或x≥3}.

(2)由f(x)≤0,得|x-a|+3x≤0,

将此不等式化为不等式组,得

反思感悟：解含参数的不等式,一类要对参数进行讨论,讨论要做到不重不漏;另一类对参数并没有进行讨论,而是去绝对值符号时对变量进行讨论,得到两个不等式组,最后把两个不等式组的解集进行合并,即得原不等式组的解集.

纠错心得：本题错误在于忽视了对参数a的分类讨论而导致的,在求解含参数的绝对值不等式时,要注意结合绝对值的性质,对参数进行分类讨论,并要做到不重不漏。

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|标签：选修4-5 含有绝对值的不等式返回搜狐，查看更多