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2020

年

6

月

第

25

期

Jun.

2020

No.25

一种多元函数无条件极值的求解方法

马国栋，

赖

婷

（

玉林师范学院

数学与统计学院，

广西

玉林

537000）

一、

引言

高等数学是大学理工科专业必修的一门基础课

程，

函数极值是一个重要知识点。针对一元函数可利

用一阶导数或二阶导数的正负号判断极值；

对于二元

函数可利用二阶偏导数判断极值，

此方法不易直观理

解，

且难以证明。

参考文献

［

1］

［

2］

利用Taylor公式证明

二元函数存在极值的充分条件较为复杂。参考文献

［

3］

利用全微分概念，

推出一种不必计算高阶偏导数

的多元函数极值判别法，

减少了计算量。

参考文献

［

4］

根据多元函数极值定义，

用一元函数方法给出了二元

和三元函数极值充分条件的证明，

只涉及了偏导数的

求法，

相对于数学分析和高等数学教材中多元函数极

值充分条件证明，

此文的方法更为直接而且简明。参

考文献

［

5］

针对全国硕士研究生入学考试的一道二元

函数极值题目，

紧扣函数极值的定义，

利用极限局部

保号性，

给出了二元函数极值的严格解法。参考文献

［

6］

不使用Taylor公式，

通过把二元函数转换成一元函

数，

得到了极值充分条件的一个简单、

直接、

易于理解

的证明方法。

纵观国内研究现状，

针对一元和二元函数的无条

件极值，

给予了详细的理论和计算的讨论，

多元函数

极值判别法都在理论方面探讨。然而，

具体问题中很

多是关于三元或者三元以上函数的无条件极值问题，

本文将利用多元函数Hessian矩阵导出多元函数极值

的充分条件，

进而求解多元函数的无条件极值。

二、

多元函数极值的充分条件

本部分首先给出高等数学教材中二元函数无条

件极值的充分条件，

大部分理工科学生都掌握此定理

来求解二元函数极值。

定理1

设函数

z=f

（

x

，

y

）

在点

（

x

0

，

y

0

）

的某邻域内

连续且有一阶

及二阶连续偏导数

，

又

f

x

（

x

0

，

y

0

）

=

0，

f

y

（

x

0

，

y

0

）

，

令

f

xx

（

x

0

，

y

0

）

=A

，

f

xy

（

x

0

，

y

0

）

=B

，

f

yy

（

x

0

，

y

0

）

=C

，

则

f

（

x

，

y

）

在点

（

x

0

，

y

0

）

处是否取得极值的条件如下：

（

1）

AC-B

2

跃

0时具有极值，且当

A

约

0时有极大值，

当

A跃0

时有极小值；

（

2）

AC-B

2

约

0时没有极值；

（

3）

AC-B

2

=

0时可能有极大值，也可能有极小值，

还另需讨论。

易知当求解三元或者三元以上函数无条件极值，

就不能再直接利用定理1来求解，

因此，

本文利用多元

函数Hessian矩阵，

首先给出求解多元函数无条件极值

的充分条件。

定

理

2

设

n

元

函

数

f

（

x

1

，

x

2

，

…

，

x

n

）

在

点

p

0

（

x

1

0

，

x

2

0

，

…，

x

n

0

）

的某邻域内连续且具有一阶及二阶

连续偏导数

（

以下简称函数

f

和点

p

0

）

，

点

p

0

为函数

f

的稳

定点，

有

鄣

f

鄣

x