求导公式

幂函数 (Power function): ( x n ) ′ = n ⋅ x n − 1 (x^n)' = n \cdot x^{n-1} (xn)′=n⋅xn−1

指数函数 (Exponential function): ( e x ) ′ = e x (e^x)' = e^x (ex)′=ex

以a为底的指数函数: ( a x ) ′ = a x ⋅ ln ⁡ ( a ) (a^x)' = a^x \cdot \ln(a) (ax)′=ax⋅ln(a)

对数函数 (Logarithmic function): ( l n x ) ′ = 1 x (lnx)' = \frac{1}{x } (lnx)′=x1​

以任意为底的对数函数 : ( l o g a x ) ′ = ( l n x l n a ) ′ = 1 l n a ∗ 1 x (log_{a}x)' = (\frac{lnx}{lna})' = \frac{1}{lna}*\frac{1}{x} (loga​x)′=(lnalnx​)′=lna1​∗x1​

导数的公式都可以根据下面的式子推导出来 lim ⁡ n → + ∞ ( 1 + 1 n ) n = e \lim_{{ n\to +\infty}} (1+\frac{{1}}{n})^n = e n→+∞lim​(1+n1​)n=e lim ⁡ x → 0 s i n x x = 1 \lim_{{ x\to 0}} \frac{{sinx}}{x} = 1 x→0lim​xsinx​=1

三角函数的导数不要管，我们很少会用到它，而且三角函数很讨厌，是周期性函数，而我们 的机器学习中很多时候要求是单调的函数，单调增也好，单调减也好，最好不要周期性函数

导数的四则运算法则是用来计算复合函数的导数的基本规则。假设函数 f(x) 和 g(x) 在某个区间内可导，那么以下是导数的四则运算法则：

如果 f(x) 和 g(x) 在某个区间内可导，那么对于函数 h(x) = f(x) + g(x)，它的导数为：

h ′ ( x ) = f ′ ( x ) + g ′ ( x ) h'(x) = f'(x) + g'(x) h′(x)=f′(x)+g′(x)

如果 f(x) 和 g(x) 在某个区间内可导，那么对于函数 (h(x) = f(x) - g(x))，它的导数为：

h ′ ( x ) = f ′ ( x ) − g ′ ( x ) h'(x) = f'(x) - g'(x) h′(x)=f′(x)−g′(x)

如果 f(x) 和 g(x) 在某个区间内可导，那么对于函数 h(x) = f(x)*g(x)，它的导数为：

h ′ ( x ) = f ′ ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g ′ ( x ) h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) h′(x)=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)

如果 f(x) 和 g(x) 在某个区间内可导且 g(x) ≠ 0那么对于函数 h(x) = f(x)/g(x)，它的导数为：

h ′ ( x ) = f ′ ( x ) ⋅ g ( x ) − f ( x ) ⋅ g ′ ( x ) ( g ( x ) ) 2 h'(x) = \frac{{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}}{{(g(x))^2}} h′(x)=(g(x))2f′(x)⋅g(x)−f(x)⋅g′(x)​

使用这些四则运算法则，我们可以计算复合函数的导数，使得在求导过程中更加简便和高效。

( f ( g ( x ) ) ) ′ = f ′ ( g ) g ′ ( x ) (f(g(x)))'=f'(g)g'(x) (f(g(x)))′=f′(g)g′(x)