克莱默法则 |
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在此页面上,您将了解什么是克莱默规则,此外,您还将找到通过克莱默规则求解方程组的示例和练习。 什么是克莱默法则?克莱默法则是一种用于通过行列式求解方程组的方法。我们来看看它是如何使用的: 考虑一个方程组: 系统的矩阵A和扩展矩阵A’为: 克莱默法则指出方程组的解为: ![]() 请注意,分子的行列式类似于矩阵 A 的行列式,但将每个未知数的列更改为独立项的列。 因此,克莱默法则用于求解线性方程组。但是,正如您所知,求解方程组的方法有很多,例如众所周知的高斯乔丹方法。 以下是使用克莱默法则(有时也写为克莱默法则)求解线性方程组的示例。 示例1:确定兼容系统(SCD) 使用克莱默法则求解以下具有 3 个未知数的 3 个方程组:我们首先制作系统的矩阵A和扩展矩阵A’: 现在我们计算两个矩阵的秩,以了解它是什么类型的系统。为了计算 A 的秩,我们计算整个矩阵的 3×3 行列式(使用 Sarrus 规则)并查看它是否给出 0: A 的行列式不为 0,因此矩阵 A 的秩为 3。 因此,矩阵 A’ 的秩也是 3 ,因为它不能是秩 4 并且必须至少与矩阵 A 具有相同的秩。 矩阵 A 的范围等于矩阵 A’ 的范围和系统 (3) 的未知数个数,因此,根据Rouché-Frobenius 定理,我们知道它是一个确定的兼容系统(SCD): 一旦我们知道系统是一个 SCD,我们就应用克莱默规则来解决它。为此,请回想一下矩阵 A、其行列式和矩阵 A’ 为: 计算未知数 根据克莱默规则,我们将 A 行列式的第一列更改为独立项列,然后将其除以 A 的行列式: 计算未知数 根据克莱默规则,我们将 A 行列式的第二列更改为独立项列,并将其除以 A 的行列式: 计算 根据克莱默规则,我们将 A 行列式的第三列更改为独立项列,并将其除以 A 的行列式: 因此,方程组的解为: 我们首先制作系统的矩阵A和扩展矩阵A’: 现在我们计算两个矩阵的范围,从而可以看出它是什么类型的系统。为了计算 A 的秩,我们计算整个矩阵的行列式(使用 Sarrus 规则)并检查它是否为 0: 行列式给出 0,因此矩阵 A 的秩不是 3。但它有一个不同于 0 的 2×2 行列式: 所以矩阵 A 的秩为 2 : 一旦我们知道了矩阵 A 的范围,我们就可以计算矩阵 A’ 的范围。前 3 列的行列式给出 0,因此我们尝试矩阵 A’ 中其他可能的 3×3 行列式: 所有 3 阶行列式都给出 0。但是,显然,矩阵 A’ 具有与矩阵 A 相同的非 0 2×2 行列式: 因此,矩阵 A’ 的秩也是 2 : 因此,由于矩阵 A 的秩等于矩阵 A’ 的秩,但这两个值均小于系统 (3) 的未知数个数,因此根据Rouché-Frobenius 定理可知,这是一个不定相容系统(工业控制系统): 当我们想要求解相容不定系统(SCI)时,我们需要对系统进行变换:首先消去一个方程,然后将一个变量转换为 λ(通常是变量 z),最后将 λ 项与独立条款。 一旦我们改造了系统,我们应用克拉默规则,我们将获得系统作为 λ 函数的解。 在这种情况下,我们将从系统中消除最后一个方程: 现在让我们将变量 z 转换为 λ: 我们将带有 λ 的项与独立项放在一起: 因此,系统的矩阵A和矩阵A’仍为: 最后,一旦我们改变了系统,我们就应用克莱默规则。因此我们求解 A 的行列式: 计算未知数 根据克莱默规则,我们将 A 行列式的第一列更改为独立项列,然后将其除以 A 的行列式: 计算未知数 根据克莱默规则,我们将 A 行列式的第二列更改为独立项列,并将其除以 A 的行列式: 虽然方程组的解是 λ 的函数,但由于它是 SCI,因此它有无穷多个解: 应用克莱默法则求解以下具有 2 个未知数的两个方程组: ![]() 首先要做的是系统的矩阵A和扩展矩阵A’: 我们现在必须找到矩阵 A 的秩。为此,我们检查整个矩阵的行列式是否不为 0: 由于矩阵具有不同于 0 的 2×2 行列式,因此矩阵 A 的秩为 2: 一旦我们知道了 A 的等级,我们就可以计算 A’ 的等级。这至少是 2 阶的,因为我们刚刚看到它内部有一个不同于 0 的 2 阶行列式。此外,它不可能是 3 阶的,因为我们不能不做一个 3×3 行列式。因此,矩阵 A’ 的秩也是 2: 因此,通过应用Rouché-Frobenius定理,我们知道这是一个兼容的确定系统(SCD),因为A的范围等于A’的范围和未知数的数量。 一旦我们知道系统是一个 SCD,我们就应用克莱默规则来解决它。 计算未知数 根据克莱默规则,我们将 A 行列式的第一列更改为独立项列,然后将其除以 A 的行列式: 计算未知数 根据克莱默规则,我们将 A 行列式的第二列更改为独立项列,并将其除以 A 的行列式: 因此,方程组的解为: 使用克莱默法则求以下具有 3 个未知数的三个方程组的解: ![]() 我们首先制作系统的矩阵A和扩展矩阵A’: 现在,我们通过使用 Sarrus 规则计算 3×3 矩阵的行列式来找到矩阵 A 的秩: 具有不同于 0 的 3 阶行列式的矩阵,矩阵 A 的秩为 3: 因此,矩阵 A’ 的秩也是 3: 因此,利用Rouché-Frobenius 定理,我们知道这是一个兼容的确定系统(SCD),因为 A 的范围等于 A’ 的范围和未知数的数量。 一旦我们知道该系统是一个SCD,我们就需要应用克莱默规则来求解该系统。 计算未知数 根据克莱默规则,我们将 A 行列式的第一列更改为独立项列,然后将其除以 A 的行列式: 计算未知数 根据克莱默规则,我们将 A 行列式的第二列更改为独立项列,并将其除以 A 的行列式: 计算 根据克莱默规则,我们将 A 行列式的第三列更改为独立项列,并将其除以 A 的行列式: 因此,方程组的解为: 使用克莱默法则计算以下具有 3 个未知数的三个方程组的解: ![]() 我们首先制作系统的矩阵A和扩展矩阵A’: 我们计算矩阵 A 的范围: 一旦我们知道了矩阵 A 的范围,我们就可以计算矩阵 A’ 的范围。前 3 列的行列式给出 0,因此我们尝试矩阵 A’ 中其他可能的 3×3 行列式: 所有 3 阶行列式都给出 0。然而,矩阵 A’ 具有与矩阵 A 相同的 2×2 非 0 行列式: 因此,矩阵 A’ 的秩也是 2: 由于矩阵 A 的秩等于矩阵 A’ 的秩,但这两者都小于系统 (3) 的未知数个数,因此根据Rouché-Frobenius 定理可知它是一个不定相容系统(ICS): 作为 ICS 系统,我们必须消除一个方程。在这种情况下,我们将从系统中消除最后一个方程: 现在让我们将变量 z 转换为 λ: 我们将带有 λ 的项与独立项放在一起: 使得系统的矩阵A和矩阵A’保持: 最后,一旦我们改变了系统,我们就应用克莱默规则。因此我们求解 A 的行列式: 计算未知数 根据克莱默规则,我们将 A 行列式的第一列更改为独立项列,然后将其除以 A 的行列式: 计算未知数 根据克莱默规则,我们将 A 行列式的第二列更改为独立项列,并将其除以 A 的行列式: 虽然方程组的解是 λ 的函数,但由于它是 SCI,因此它有无穷多个解: 应用克莱默规则求解以下具有 3 个未知数的三方程组问题: 首先构造系统的矩阵A和扩展矩阵A’: 现在让我们通过使用 Sarrus 规则计算 3×3 矩阵的行列式来计算矩阵 A 的秩: 具有不同于 0 的 3 阶行列式的矩阵,矩阵 A 的秩为 3: 因此,矩阵 A’ 的秩也是 3,因为它必须至少与矩阵 A 具有相同的秩,并且它不能是秩 4,因为它是维度为 3×4 的矩阵。 因此,利用Rouché-Frobenius 定理,我们推断它是一个确定兼容系统(SCD),因为 A 的范围等于 A’ 的范围和未知数的数量。 一旦我们知道该系统是一个SCD,我们就需要应用克莱默规则来求解该系统。 计算未知数 根据克莱默规则,我们将 A 行列式的第一列更改为独立项列,然后将其除以 A 的行列式: 计算未知数 根据克莱默规则,我们将 A 行列式的第二列更改为独立项列,并将其除以 A 的行列式: 计算 根据克莱默规则,我们将 A 行列式的第三列更改为独立项列,并将其除以 A 的行列式: 因此,线性方程组的解为: 使用克莱默法则求解以下线性方程组: ![]() 我们首先制作系统的矩阵A和扩展矩阵A’: 我们计算矩阵 A 的范围: 一旦我们知道了矩阵 A 的范围,我们就可以计算矩阵 A’ 的范围。前 3 列的行列式给出 0,因此我们尝试矩阵 A’ 中其他可能的 3×3 行列式: 所有 3 阶行列式都给出 0。但是,显然,矩阵 A’ 与矩阵 A 具有相同的 2 阶行列式(除了 0): 因此,矩阵 A’ 的秩也是 2: 矩阵 A 的秩等于矩阵 A’ 的秩,但这两个都小于系统的未知数数 (3),因此根据Rouché-Frobenius 定理我们知道它是一个不定系统兼容(SCI) : 作为一个 ICS 系统,我们必须消除一个方程。在这种情况下,我们将从系统中消除最后一个方程: 现在让我们将变量 z 转换为 λ: 我们将带有 λ 的项与独立项放在一起: 使得系统的矩阵A和矩阵A’保持: 最后,一旦我们改变了系统,我们就应用克莱默规则。因此我们求解 A 的行列式: 计算未知数 根据克莱默规则,我们将 A 行列式的第一列更改为独立项列,然后将其除以 A 的行列式: 计算未知数 根据克莱默规则,我们将 A 行列式的第二列更改为独立项列,并将其除以 A 的行列式: 因此,方程组的解是 λ 的函数,因为它是一个 SCI,因此该方程组有无穷多个解: |
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