三相电压型PWM整流器以能够实现单位功率因数运行,网侧电流正弦化,能量双向流动,直流侧电压稳定等优点,获得广泛的应用。其为电网和其他电力变换系统提供了必要的接口,应用领域包括不间断电源供电系统、有源电力滤波、四象限交流电动机拖动系统、高压直流输电系统等[1-4]。

目前针对PWM整流器建模与控制[5-10]、系统稳定性[11-15]等方面,国内外学者做了大量研究工作。文献[5]在同步旋转坐标系(d-q坐标系)下,建立了基于三相相电压和相电流的解耦线性化小信号模型。文献[6-7]提出了幅相控制的小信号模型,控制结构简单,但由于是间接电流控制,相比直接电流控制,电流动态响应慢,且存在明显的直流分量。文献[8]基于微分几何理论,在建立三相电压型PWM整流器仿射非线性模型基础上,提出其状态反馈精确线性化非线性控制策略,实现有功解耦和无功功率解耦。该方法虽然能获得较理想的效果,但得到的变换器模型较复杂,增加了补偿设计及控制实现的复杂程度。文献[9]提出了一种输入、输出反馈线性化控制与滑模变结构控制相结合的多滑模变结构控制策略。该方法克服了常规的反馈线性化需要精确数学模型的缺点。文献[10]采用电压平方作为状态变量,实现了稳态时直流母线电压平方量与电流有功分量的线性关系,但是该种方案并没有保证系统在瞬态时该种线性关系依然成立。文献[11]研究了PWM整流器稳定工作时,直流侧突接冲击性负载对系统稳定性的影响,给出了冲击负载的稳定边界。文献[12]对三相电压型PWM整流器连接到非理想电网-公共联接点并联三相平衡负载电阻的情况进行了分析,建立了输出功率关于交流输入电流的二次方程,从而分析了三相平衡负载电阻对系统稳定性的影响情况。文献[13]在文献[11-12]的基础上研究了三相整流器在交流侧串接不同电阻时系统发生分岔现象,并找到了在其他参数保持不变情况下使系统稳定的等效串联电阻边界值。文献[14]针对单相PWM整流器直流侧带重载时失稳现象,提出了整流器在保证系统稳定前提下的负载边界值。文献[15]研究了整流器运行于能量回馈状态下,被控对象存在一个右半平面且随负载变化的极点,进一步研究了PI控制器参数对系统稳定性的影响。

以上稳定性分析均在连续域中进行,考虑到数字控制采样、计算导致的一拍延时以及PWM环节的零阶保持器特性,系统的稳定性能将会发生变化,特别系统运行在低开关频率状态时,这种现象将更加明显。同时,现有的文献并没有系统地针对控制器参数以及硬件参数进行系统稳定性分析,存在一定的局限性。基于以上原因,本文根据瞬时有功功率守恒原理,建立了整流器有功电流与直流母线电压之间的小信号模型。当整流器工作在整流工况时,存在一个右半平面且随负载变动的零点,其将会给系统带来0°~90°的负相移,影响系统的稳定性。为了更加精确地分析在离散控制下整流器的性能,本文建立了三相PWM整流器采用电压外环、电流内环的双闭环控制结构时系统的离散域模型,提出了工程化的电压、电流控制器参数设计方法,并且详细地分析了系统参数对系统稳定性的影响。研究结果表明：系统的稳定性主要受到了电压外环比例系数、交流侧滤波电感、母线电容、负载因素影响。最后,实验结果证明了上述理论分析的正确性。

三相电压源型PWM整流器拓扑结构如图1所示。

图1中ea、eb、ec为电网电压;ia、ib、ic为电网电流;udc为直流母线电压;iL为负载电流;idc为直流母线电流;Ls为滤波电感;Rs为滤波电感寄生电阻;Cdc为直流母线电容;RL为负载电阻。

图1 三相电压源型PWM整流器拓扑 Fig. 1 Topology of three-phase voltage source rectifier

由于三相电压源PWM整流器同一桥臂的上下开关管的控制信号互补开通,因此定义开关函数Sk,其中k=a、b、c。

采用基尔霍夫电压、电流定律可以建立三相PWM整流器在三相静止坐标系中的状态空间方程为

三相PWM整流器在三相静止坐标中数学模型物理意义清晰。但是由于其交流侧为时变量,采用PI控制器,无法做到无稳态误差控制。同时系统数学模型所呈现的是一个三相耦合的多阶非线性时变特性。因此对式(2)做以电网角频率ω同步旋转变换,将三相静止坐标系中的基波正弦量转化为两相d-q坐标系中的直流量,从而便于实现对三相电流的无误差跟踪控制。式(3)为三相整流器以电网电压矢量定向的两相旋转坐标系中的数学模型[16-18]。

其中ud=Sdudc,uq=Squdc,(id、iq)、(ed、eq)、(Sd、Sq)、(ud、uq)分别为电网电流、电网电压、开关函数Sk、整流器端口输出电压的d、q轴分量。

式(3)表明,电流环由于耦合项ωLsiq、ωLsid的存在,d、q两轴变量将会产生耦合效应。因此本文对于电流内环采用前馈解耦方式,实现d、q两轴解耦控制。依据式(3)和PI控制思想[17-18],电流内环设计为

图2为整流器电流内环在d-q坐标系下的解耦控制框图。

式(3)中的最后1个等式反映了整流器交直流侧能量的传递过程。由于idSd、iqSq项的存在,模型中存在典型的非线性特性,很难直接用于控制器的设计。

图2 电流环解耦控制框图 Fig. 2 Decoupling control block of current loop

将式(3)中的第1个等式乘以id,第1个等式乘以iq可得

将式(5)上下2等式相加并乘以系数3/2可以得到三相PWM整流器在d-q坐标系中的瞬时有功功率平衡方程[19]。

式(6)中等式左边为电网提供的瞬时有功功率P;等式右边第1项为交流侧等效电阻Rs消耗的瞬时有功功率PR,一般情况下电阻Rs很小,可以近似认为Rs=0;第2项为电感内磁场储能增加时所吸收的瞬时有功功率PL,在稳态时该项为0,即PL=0;第三项为整流器吸收的瞬时有功功率Pr。忽略开关器件引起的损耗时,可以认为整流器吸收瞬时有功功率等于直流侧获得的瞬时有功功率。

图3为三相PWM整流器瞬时有功功率流动图。

当整流器处于整流状态时,由图3瞬时有功功率流动图可得到

\(\frac{3}{2}({{u}_{\text{d}}}{{i}_{\text{d}}}+{{u}_{\text{q}}}{{i}_{\text{q}}})={{u}_{\text{dc}}}{{C}_{\text{dc}}}\frac{\text{d}{{u}_{\text{dc}}}}{\text{d}t}+\frac{u_{\text{dc}}^{2}}{{{R}_{\text{L}}}}\) (7)

图3 瞬时有功功率流动图 Fig. 3 Instantaneous active power flow diagram

式(7)等式右边第1项为直流母线电容吸收的瞬时有功PC,第2项为负载消耗的瞬时有功Pload。近似认为电网电压为一个理想电压源,当采用电网电压矢量定向时,eq=0。联立式(6)(7),对状态变量id、iq、udc在静态工作点附近做小信号扰动

式中Id、Iq、udc*为整流器的静态工作点,当整流器运行于单位功率因数时,即满足Iq=0。将式(8)代入式(6)(7),分离直流分量和二阶微分小项可得到

\(\frac{3}{2}{{e}_{\text{d}}}\overset{\wedge }{\mathop{{{i}_{\text{d}}}}}\,-\frac{3}{2}{{I}_{\text{d}}}{{L}_{\text{s}}}\frac{\text{d}\overset{\wedge }{\mathop{{{i}_{\text{d}}}}}\,}{\text{d}t}={{C}_{\text{dc}}}u_{\text{dc}}^{*}\frac{\text{d}\overset{\wedge }{\mathop{{{u}_{\text{dc}}}}}\,}{\text{d}t}+2u_{\text{dc}}^{*}\frac{\overset{\wedge }{\mathop{{{u}_{\text{dc}}}}}\,}{{{R}_{\text{L}}}}\) (9)

式(10)为整流器所满足的静态工作点方程

\(\frac{3}{2}{{e}_{\text{d}}}{{I}_{\text{d}}}=\frac{u{{_{\text{dc}}^{*}}^{2}}}{{{R}_{\text{L}}}}\) (10)

其中直流母线电压udc*为参考值,有功电流Id满足

\({{I}_{\text{d}}}=\frac{2u{{_{\text{dc}}^{*}}^{2}}}{3{{e}_{\text{d}}}{{R}_{\text{L}}}}\) (11)

对式(9)做拉氏变换可以得到有功电流与直流母线电压的传递函数

\({{G}_{2}}(s)=\frac{\overset{\wedge }{\mathop{{{u}_{\text{dc}}}}}\,}{\overset{\wedge }{\mathop{{{i}_{\text{d}}}}}\,}=\frac{\frac{3{{R}_{\text{L}}}{{e}_{\text{d}}}}{4u_{\text{dc}}^{*}}(1-\frac{{{L}_{\text{s}}}{{I}_{\text{d}}}}{{{e}_{\text{d}}}}s)}{1+0.5{{R}_{\text{L}}}{{C}_{\text{dc}}}s}\) (12)

由式(12)可知当整流器工作在整流状态时,即Id>0,属于一个非最小相位系统。此时整流器数学模型中存在一个右半平面的零点ed/(LsId),该零点由滤波电感Ls所引入,反映了Boost拓扑的共性[20],其将会给系统带来0°~90°的负相移,影响系统的稳定性。

如前文分析可知,电压外环被控对象传递函数G2(s)如式(12)所示。当三相PWM整流器采用单电感滤波时,忽略寄生电阻Rs的影响,此时电流内环的被控对象传递函数为

\({{G}_{1}}(s)=\frac{1}{s{{L}_{\text{s}}}}\) (13)

电流环采用前馈解耦控制后,d、q轴变量相互独立,本文以d轴为分析对象。电流环采用数字控制时由于采样和计算过程中产生的一拍滞后效应如图4所示。由于调制波信号装载后在下一个采样周期Ts内保持不变,所以通常采用零阶保持器(zero-order holder,ZOH)来描述PWM调制过程,

图4 不对称规则采样 Fig. 4 Asymmetric regular sampling

其产生的平均延时为Ts/2[21]。

三相电压型PWM整流器采用双闭环控制结构下的离散域模型如图5所示

图5 双闭环控制下离散域模型 Fig. 5 Discrete domain model under dual loop control

为了方便分析,电流内环采用比例控制,电压外环采用比例积分控制。内外环控制器脉冲传递函数分别为

\({{G}_{\text{i}}}(z)={{k}_{\text{pi}}}\) (14)

\({{G}_{\text{u}}}(z)={{k}_{\text{pv}}}+\frac{{{k}_{\text{iv}}}{{T}_{\text{s}}}z}{z-\text{1}}\) (15)

由图5可以得到电流内环被控对象的脉冲传递函数[22]

\({{G}_{\text{1}}}(z)=Z(\frac{\text{1}-{{\text{e}}^{-{{T}_{s}}s}}}{s}{{G}_{1}}(s))=\frac{{{T}_{\text{s}}}}{{{L}_{\text{s}}}(z-1)}\) (16)

联立式(14)(16)可以得到电流内环的闭环脉冲传递函数

\({{W}_{\text{ci}}}(z)=\frac{{{i}_{\text{d}}}(z)}{{{i}_{\text{dref}}}(z)}=\frac{\frac{{{k}_{\text{pi}}}{{T}_{\text{s}}}}{{{L}_{\text{s}}}}}{{{z}^{2}}-z+\frac{{{k}_{\text{pi}}}{{T}_{\text{s}}}}{{{L}_{\text{s}}}}}\) (17)

电流内环的输出id(s)为一个连续的模拟信号,id(s)未经采样直接作用于外环被控对象G2(s)得到直流输出电压udc(s)。由于图5中m(z)为电流内环控制器的输出量,根据框图等效变换[21]可得

\(\left\{ \begin{align} & {{i}_{\text{d}}}(z)=m(z){{G}_{1}}(z) \\ & {{u}_{\text{dc}}}(z)=m(z){{G}_{1}}{{G}_{2}}(z) \\ \end{align} \right.\) (18)

其中G1G2(z)满足

\({{G}_{1}}{{G}_{2}}(z)=Z(\frac{\text{1}-{{\text{e}}^{-{{T}_{\text{s}}}s}}}{s}{{G}_{1}}(s){{G}_{2}}(s))\) (19)

由式(18)即可得

\(G(z)=\frac{{{u}_{\text{dc}}}(z)}{{{i}_{\text{d}}}(z)}=\frac{{{G}_{1}}{{G}_{2}}(z)}{{{G}_{1}}(z)}\) (20)

联立式式(15)(17)(20)可以得到简化的电压外环离散域模型,如图6所示。

图6 简化的电压外环离散域模型 Fig. 6 Simplified discrete domain model of voltage loop

由图6即可得到当整流器运行于整流状态时,系统的闭环脉冲传递函数为

\(\phi (z)=\frac{{{G}_{\text{u}}}(z){{G}_{\text{i}}}G(z)}{\text{1}+{{G}_{\text{u}}}(z){{G}_{\text{i}}}G(z)}\) (21)

其中系统闭环脉冲传递函数详细表达式如附录所示。

三相电压型PWM整流器闭环脉冲传递函数为

其中

表1给出了系统的参数。

在d-q旋转坐标系下,三相电压型PWM整流器通常采用电压外环和电流内环的双闭环结构形式控制。电压外环控制获得稳定的直流输出电压;

表1 系统参数 Tab. 1 System parameters

电流内环根据外环的输出指令进行电流控制,提供高质量的电流响应。为了简化分析,本文根据三相电压型PWM整流器的电压、电流数字控制时的等效连续域模型进行控制器的连续域-离散化设计[23]。

考虑到前馈解耦后,d、q轴互相独立,本文中电流环设计以d轴设计为例。由图5双闭环控制下的离散域模型可得到电流环的等效连续域模型,如图7所示。

图7 电流环的等效连续域模型 Fig. 7 Equivalent continuous model of current loop

其中,图7中联合了采样器、计算延时导致的一拍滞后以及零阶保持器ZOH特性的PWM变换器增益传递函数Gd(s) [24]为

\({{G}_{\text{d}}}(s)=\frac{1}{{{T}_{\text{s}}}}\cdot {{\text{e}}^{-s{{T}_{\text{s}}}}}\cdot \frac{1-{{\text{e}}^{-s{{T}_{\text{s}}}}}}{s}\approx {{\text{e}}^{-1.5s{{T}_{\text{s}}}}}\) (25)

由图7可得到电流内环的环路增益Tc(s),其中为了简化分析,电流内环采用比例控制。

\({{T}_{\text{c}}}(s)=\frac{{{k}_{\text{pi}}}}{s{{L}_{\text{s}}}}{{\text{e}}^{-1.5s{{T}_{\text{s}}}}}\) (26)

由文献[24]可知,比例系数kpi决定系统的截止频率fci。kpi越大,则fci越高,系统的动态响应速度越快,低频增益也相对越高。但是由于数字控制带来的延时环节Gd(s)的影响,过高的kpi将会导致相位裕度降低。由于截止频率fci处,系统的环路增益的幅值等于1,根据式(26)可得

\(|{{T}_{\text{c}}}(\text{j}2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }{{f}_{\text{ci}}})|=\frac{{{k}_{\text{pi}}}}{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }{{f}_{\text{ci}}}{{L}_{\text{s}}}}=1\) (27)

式(27)可以改写为

\({{k}_{\text{pi}}}=2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }{{f}_{\text{ci}}}{{L}_{\text{s}}}\) (28)

为了满足系统的快速性,同时保持一定的相位裕度,内环截止频率fci一般为开关频率的1/10~1/5。当采用如图4所示的不对称规则采样方式时,由于数字控制延时导致系统相位滞后27°~54°。鉴于表1中系统参数,本文选定电流内环比例控制器比例系数kpi=20,此时电流内环截止频率fci=884 Hz,相位裕度为42.3°,满足系统要求。

利用泰勒级数将延时环节Gd(s)展开为有理式形式

\({{\text{e}}^{-1.5s{{T}_{\text{s}}}}}\approx \frac{1}{1\text{+}1.5s{{T}_{\text{s}}}}\) (29)

结合式(26)(28)(29),并考虑到采样频率足够高,即Ts足够小,s2项系数远小于s项系数,因此s2项可以忽略不计,则简化后的电流内环闭环传递函数

\({{W}_{\text{ci}}}(s)\approx \frac{1}{1\text{+}\frac{1}{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }{{f}_{\text{ci}}}}\text{s}}\) (30)

电压外环等效连续域模型如图8所示。

图8 电压环的等效连续域模型 Fig. 8 Equivalent continuous model of voltage loop

电压外环为了实现直流电压的稳态无误差跟踪,采用PI调节器。PI调节器在转折频率fL=kiv/(2πkpv)前后,其幅频曲线斜率分别为-20dB/dec和0dB/dec(dec为10倍频程),对应的相频曲线存在-90°~0°的相移。为了减小PI调节器的负相移对系统相位裕度的影响,转折频率fL需要远低于电压外环的截止频率fcu。这样在分析远离转折频率fL的系统频率特性时,PI调节器可以近似认为一个比例调节器。

考虑到电压外环被控对象G2(s)的非最小相位特性,校正前系统伯德图如图9所示,系统具有良好的稳定性,但是缺乏一定的快速性同时无法提供足够大的低频增益。本文选取电压外环截止频率fcu= fci /13=68 Hz,此时电压外环比例系数kpv=3.5。当PI调节器的转折频率fL 图9 校正前系统伯德图 Fig. 9 Bode diagram of system before correcting

图10 校正后系统伯德图 Fig. 10 Bode diagram of system after correcting

已知系统的闭环脉冲传递函数即可得到三相电压型PWM整流器运行在整流状态下的闭环特征方程,进而可以进行系统稳定性分析。图11分别给出了kpi=20,kiv=50、200时,系统随kpv变化(2 图11 整流状态下系统根轨迹图 Fig. 11 Root locus of system under rectifying mode

大,系统的稳定性降低,同时电压外环积分系数kiv对系统稳定性影响较弱。为了进一步探究电流内环比例系数kpi、滤波电感Ls、母线电容Cdc、负载电阻RL对整流器运行在整流状态下的稳定性影响,图12—14分别给出了整流器在不同参数条件下的稳定边界。

图12 不同kpi下系统的稳定边界 Fig. 12 Stability boundaries with different values of kpi

图13 不同Ls下系统的稳定边界 Fig. 13 Stability boundaries with different values of Ls

图14 不同Cdc下系统的稳定边界 Fig. 14 Stability boundaries with different values of Cdc

由图12可知,电流内环比例系数kpi取值在一个大范围内不影响系统的稳定性。由图13可知当系统其它参数保持不变时,电感Ls越小,系统稳定区域越大。对于一个特定的电感值,负载越轻(负载电阻RL越大)、比例系数kpv越小,系统的稳定域更大。由图14可知当系统其它参数保持不变时,电

容值Cdc越大,系统的稳定区域越大。与图13类似,对于一个特定的电容值,负载越轻(负载电阻RL越大)、比例系数kpv越小,系统的稳定域更大。

综合图11—14可以看出,在本文提出的建模方式下,电压外环PI控制器的比例系数kpv、滤波电感Ls、母线电容Cdc、负载是影响系统的稳定性的主要因素。kpv、Ls越小,Cdc越大,负载越轻,系统的稳定性越好。

为了验证上述理论分析的正确性,搭建了一台三相两电平电压型PWM整流器实验样机,该样机的控制芯片为TI公司的TMS320F28335,表2给出了具体的实验参数。

表2 实验参数 Tab. 2 Experimental parameters

图15给出了电压外环控制器参数分别为(kpv=3.5,kiv=50)、(kpv=7.5,kiv=50)的实验波形。图15(a)中直流母线电压稳定在给定值300 V,电网电流波形的正弦度较好且保持单位功率因数,控制器参数设计具有一定合理性。当比例系数kpv=7.5时,由图11系统根轨迹图可知,系统处于不稳定状态。此时直流母线电压出现低频振荡,电网电流产生

图15 系统稳定、不稳定实验波形 Fig. 15 Experimental waveforms when system is stable and unstable

畸变。

在表2实验参数的基础上,当减小电感值或者增大电容值时,实验结果如图16所示。对比图15(b)可见,此时在相同的控制器参数条件下(kpv=7.5,kiv=50)系统从不稳定状态进入了稳定状态,直流母线电压、网侧电流波形质量都有大幅度改善。实验结论与理论分析吻合。

图17给出了负载电阻由60 Ω减少到40 Ω时,整流器的实验结果,其中kpv=5,kiv=50。当突然加大负载时,系统出现不稳定现象,直流母线电压出现低频振荡,网侧电流波形畸变。

图16 电感电容值变化时实验波形 Fig. 16 Experimental waveforms when inductance、capacitance are varied

图17 负载增加时实验波形 Fig. 17 Experimental waveforms with heavier load

本文根据整流器的状态空间模型以及瞬时有功功率守恒原理,得到了有功电流到直流母线电压的小信号模型。基于此建立了系统的离散域模型,并且进行了电流内环、电压外环控制器参数设计。为了探讨系统在不同参数条件下的稳定性能,本文进一步分析了系统参数对系统稳定性的影响。概述全文,可以得到如下结论：

1）整流器工作在整流状态时,系统存在一个右半平面的零点,呈现非最小相位特性,其将会给系统带来0°~90°的负相移,影响系统的稳定性。

2）电压外环积分系数kiv和内环比例系数kpi对系统的稳定性影响较小;减小kpv可以显著地提高系统的稳定裕度。滤波电感、母线电容等硬件参数也对系统稳定性产生一定影响,适当地减小电感值或者增大电容值可以提高系统稳定性;负载越大,系统越不稳定。因此应按照系统运行在最大可能的负载功率工作点下进行控制器参数设计。

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