可分方程一般都有如下形式 x ′ ( t ) = h ( t ) g ( x ) x'(t)=h(t)g(x) x′(t)=h(t)g(x) 且有h(t)是连续的，g(x)是连续可微的

解可分方程思路一般为两大块-------求常数解和求非常数解

且要注意的是，常数解和非常数解代表的曲线不相交

一般会先求出常数解，从而求出非常数解的区间，如果有初值，或者给出图上一个点，就可以确定此非常数解的曲线在哪个区间

我们已知x是关于t的函数，当k是微分方程的一个常熟解时，有 x ( t ) = k x(t)=k x(t)=k

x ′ ( t ) = 0 x'(t)=0 x′(t)=0,此时当且仅当 g ( k ) = 0 g(k)=0 g(k)=0时，微分方程成立

那么当 g ( x ) ≠ 0 g(x) \ne 0 g(x)=0时，此时方程有非常数解。

x ′ ( t ) g ( x ( t ) ) = h ( t ) \frac{x^{\prime}(t)}{g(x(t))}=h(t) g(x(t))x′(t)​=h(t)

∫ x ′ ( t ) g ( x ( t ) ) d t = ∫ h ( t ) d t \int \frac{x^{\prime}(t)}{g(x(t))} dt=\int h(t) dt ∫g(x(t))x′(t)​dt=∫h(t)dt

∫ d x g ( x ) = ∫ h ( t ) + c \int \frac{d x}{g(x)}=\int h(t)+c ∫g(x)dx​=∫h(t)+c

当解中带有绝对值时，我们可以通过求常数解来确定x的范围，从而去绝对值，求出在此区间上的解。

假设有一个微分方程 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y),有方程对x的偏导 F x ( x , y ) F_x(x,y) Fx​(x,y)和关于y的偏导 F y ( x , y ) F_y(x,y) Fy​(x,y)

关于x的偏导写作 M ( x , y ) M(x,y) M(x,y),y的偏导为 N ( x , y ) N(x,y) N(x,y)。

F x ( x , y ) = M ( x , y ) , F y ( x , y ) = N ( x , y ) F_x(x,y)=M(x,y),F_y(x,y)=N(x,y) Fx​(x,y)=M(x,y),Fy​(x,y)=N(x,y)

此时 M ( x , y ) d x + N ( x , y ) d y = 0 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 方程有 M y = N x M_y=N_x My​=Nx​恒成立。

我们知道， M ( x , y ) M(x,y) M(x,y)关于x的原函数和 N ( x , y ) N(x,y) N(x,y)关于y的原函数都是 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)

根据做题经验，我们可以分别求出M，N的原函数。

M的原函数加常数解项 c 1 c_1 c1​( c 1 c_1 c1​中可以包含y)

N的原函数加常数解项 c 2 c_2 c2​( c 2 c_2 c2​中可以包含x)

令两式相等，我们可以得出 c 1 , c 2 c_1,c_2 c1​,c2​的值，从而求出恰当方程 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)。

F ( x , y ) = ∫ M ( x , y ) d x + h ( y ) F(x,y)=\int M(x,y)dx+h(y) F(x,y)=∫M(x,y)dx+h(y)

F x ( x , y ) = M ( x , y ) F_{x}(x,y)=M(x,y) Fx​(x,y)=M(x,y)

F y ( x , y ) = ∂ ∂ y ( ∫ M ( x , y ) d x ) + h ′ ( y ) F_{y}(x, y)=\frac{\partial}{\partial y}\left(\int M(x, y) d x\right)+h^{\prime}(y) Fy​(x,y)=∂y∂​(∫M(x,y)dx)+h′(y)

h ′ ( y ) = N ( x , y ) − ∂ ∂ y ( ∫ M ( x , y ) d x ) h^{\prime}(y)=N(x,y)-\frac{\partial}{\partial y}\left(\int M(x,y) dx\right) h′(y)=N(x,y)−∂y∂​(∫M(x,y)dx)

如此，我们可以求出h(y)的值，从而求出 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)

F ( x , y ) = ∫ x 0 x M ( s , y ) d s + ∫ y 0 y N ( x 0 , s ) d s F(x,y)=\int_{x_{0}}^{x} M(s,y) ds+\int_{y_{0}}^{y} N\left(x_{0},s\right)ds F(x,y)=∫x0​x​M(s,y)ds+∫y0​y​N(x0​,s)ds

其中有两种解法，一种是先对x积分，后对y积分。

积分路径为 ( x 0 , y 0 ) − > ( x , y 0 ) − > ( x , y ) (x_0,y_0)->(x,y_0)->(x,y) (x0​,y0​)−>(x,y0​)−>(x,y)

另一种是先对y积分，后对x积分。

积分路径为 ( x 0 , y 0 ) − > ( x 0 , y ) − > ( x , y ) (x_0,y_0)->(x_0,y)->(x,y) (x0​,y0​)−>(x0​,y)−>(x,y)

其中积分路径的起点我们可以根据方程的特点，选取最容易计算的对应点

例如存在 l n x lnx lnx时我们不妨设x为1，但一般情况下我们都设积分路径的起点为(0,0)

简单说，有形式为 M ( x , y ) d x + N ( x , y ) d y = 0 M(x, y) d x+N(x, y) d y=0 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的方程。但是此方程不是恰当方程（ M y ≠ N x M_y \ne N_x My​=Nx​）

此时我们令方程的每一项都同时乘一个式子 μ \mu μ， μ ( x , y ) M ( x , y ) d x + μ ( x , y ) N ( x , y ) d y = 0 \mu(x, y) M(x, y) d x+\mu(x, y) N(x, y) d y=0 μ(x,y)M(x,y)dx+μ(x,y)N(x,y)dy=0从而使整个方程为恰当的，我们称作这个式子 μ \mu μ为积分因子。

例如有方程 y d x − x d y = 0 ydx-xdy=0 ydx−xdy=0可知此方程不恰当,如果我们在方程的每一项同时乘以 1 y 2 \frac{1}{y^2} y21​,此时方程为 1 y d x − x y 2 d y = 0 \frac{1}{y}dx-\frac{x}{y^2}dy=0 y1​dx−y2x​dy=0,此时方程为恰当方程。从而可以根据求解恰当方程的解法去求解。

我们发现如果直接让我们找一个完整的积分因子 μ ( x , y ) \mu(x,y) μ(x,y)是困难的，不妨先去寻找可以使方程恰当的 μ ( x ) \mu(x) μ(x)或者 μ ( y ) \mu(y) μ(y) μ ( x ) M ( x , y ) d x + μ ( x ) N ( x , y ) d y = 0 \mu(x) M(x, y) d x+\mu(x) N(x, y) d y=0 μ(x)M(x,y)dx+μ(x)N(x,y)dy=0

μ ( y ) M ( x , y ) d x + μ ( y ) N ( x , y ) d y = 0 \mu(y) M(x, y) d x+\mu(y) N(x, y) d y=0 μ(y)M(x,y)dx+μ(y)N(x,y)dy=0

因为方程是恰当的，满足 M y = N x M_y=N_x My​=Nx​即 ∂ ∂ y ( μ ( x ) M ( x , y ) ) = ∂ ∂ x ( μ ( x ) N ( x , y ) ) \frac{\partial}{\partial y}(\mu(x) M(x, y))=\frac{\partial}{\partial x}(\mu(x) N(x, y)) ∂y∂​(μ(x)M(x,y))=∂x∂​(μ(x)N(x,y))

可得 M y ( x , y ) = μ ′ ( x ) N ( x , y ) + μ ( x ) N x ( x , y ) M_{y}(x, y)=\mu^{\prime}(x) N(x, y)+\mu(x) N_{x}(x, y) My​(x,y)=μ′(x)N(x,y)+μ(x)Nx​(x,y)化简可得 μ ′ ( x ) μ ( x ) = M y ( x , y ) − N x ( x , y ) N ( x , y ) \frac{\mu^{\prime}(x)}{\mu(x)}=\frac{M_{y}(x, y)-N_{x}(x, y)}{N(x, y)} μ(x)μ′(x)​=N(x,y)My​(x,y)−Nx​(x,y)​

我们令 μ ′ ( x ) μ ( x ) = Ψ \frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=\Psi μ(x)μ′(x)​=Ψ即 Ψ = M y ( x , y ) − N x ( x , y ) N ( x , y ) \Psi=\frac{M_{y}(x, y)-N_{x}(x, y)}{N(x, y)} Ψ=N(x,y)My​(x,y)−Nx​(x,y)​那么求解我们得到的ODE： μ ( x ) = c e ∫ Ψ ( x ) d x \mu(x)=c e^{\int \Psi(x) d x} μ(x)=ce∫Ψ(x)dx

同理，如果设积分因子为 μ ( y ) \mu(y) μ(y)得到的结果为 Ψ = N x ( x , y ) − M y ( x , y ) N ( x , y ) \Psi=\frac{N_{x}(x, y)-M_{y}(x, y)}{N(x, y)} Ψ=N(x,y)Nx​(x,y)−My​(x,y)​, μ ( y ) = c e ∫ Ψ ( y ) d y \mu(y)=c e^{\int \Psi(y) d y} μ(y)=ce∫Ψ(y)dy

当然，如果想求出 μ ( x , y ) \mu(x,y) μ(x,y)，满足 M y = N x M_y=N_x My​=Nx​可得 μ ′ ( x , y ) M ( x , y ) + μ ( x , y ) M y ( x , y ) = μ ′ ( x ) N ( x , y ) + μ ( x ) N x ( x , y ) \mu^{\prime}(x,y) M(x, y)+\mu(x,y) M_{y}(x, y)=\mu^{\prime}(x) N(x, y)+\mu(x) N_{x}(x, y) μ′(x,y)M(x,y)+μ(x,y)My​(x,y)=μ′(x)N(x,y)+μ(x)Nx​(x,y) 化简可得 Ψ = N x ( x , y ) − M y ( x , y ) M ( x , y ) − N ( x , y ) \Psi=\frac{N_{x}(x, y)-M_{y}(x, y)}{M(x, y)-N(x, y)} Ψ=M(x,y)−N(x,y)Nx​(x,y)−My​(x,y)​,但明显，求单变量的积分因 μ ( x ) , μ ( y ) \mu(x),\mu_(y) μ(x),μ(​y)子比求双变量的积分因子 μ ( x , y ) \mu(x,y) μ(x,y)简单得多。

因此在找积分因子时，我们通常根据方程去寻找单变量积分因子 μ ( x ) , μ ( y ) \mu(x),\mu_(y) μ(x),μ(​y)

有齐次方程 x ′ = f ( t , x ) x'=f(t,x) x′=f(t,x), f ( t , x ) f(t,x) f(t,x)表示为关于 x t \frac{x}{t} tx​的方程。

例如 x ′ = x 3 + t 3 t x 2 , t ≠ 0 x^{\prime}=\frac{x^{3}+t^{3}}{t x^{2}}, \quad t \neq 0 x′=tx2x3+t3​,t=0是齐次的， x ′ = x 2 sin ⁡ t x^{\prime}=x^{2} \sin t x′=x2sint是非齐次的。

因此，齐次方程的形式为 x ′ = x 2 sin ⁡ t x^{\prime}=x^{2} \sin t x′=x2sint 它可以通过改变未知量 x = t z x=tz x=tz,使其而转化为一个可分方程 x ′ = ( t z ) ′ = z + t z ′ = g ( z ) x'=(tz)'=z+tz'=g(z) x′=(tz)′=z+tz′=g(z)

t z ′ = g ( z ) − z tz'=g(z)-z tz′=g(z)−z

z ′ g ( z ) − z = 1 t ( 可分方程 ) \frac{z'}{g(z)-z}=\frac{1}{t}(可分方程) g(z)−zz′​=t1​(可分方程)

z是关于t的函数，如此用可分方程的方法求解即可。

伯努利方程有如下形式 x ′ + p ( x ) x = q ( t ) x k + 1 x^{\prime}+p(x) x=q(t) x^{k+1} x′+p(x)x=q(t)xk+1因为 p ( t ) , q ( t ) p(t),q(t) p(t),q(t)都是连续的，所以我们只考虑 x k + 1 x^{k+1} xk+1使方程有意义的解。

对于 x ′ + p ( t ) x = q ( t ) x k + 1 x^{\prime}+p(t) x=q(t) x^{k+1} x′+p(t)x=q(t)xk+1 令 z = x − k z=x^{-k} z=x−k使转化为线性方程。

注意：当 k = 0 , − 1 或 q ( t ) = 0 k=0,-1或q(t)=0 k=0,−1或q(t)=0时，伯努利方程是线性方程

分别为 x ′ + p ( t ) x = q ( t ) x x'+p(t)x=q(t)x x′+p(t)x=q(t)x, x ′ + p ( t ) x = q ( t ) x'+p(t)x=q(t) x′+p(t)x=q(t), x ′ + p ( t ) x = 0 x'+p(t)x=0 x′+p(t)x=0

  z ′ = − k x ′ x − ( k + 1 ) = − k x − ( k + 1 ) ( − p ( t ) x + q ( t ) x k + 1 = k p ( t ) x − k − k q ( t ) = k p ( t ) z − k q ( t ) z'=-kx'x^{-(k+1)} =-kx^{-(k+1)}(-p(t)x+q(t)x^{k+1} =kp(t)x^{-k}-kq(t) =kp(t)z-kq(t) z′=−kx′x−(k+1)=−kx−(k+1)(−p(t)x+q(t)xk+1=kp(t)x−k−kq(t)=kp(t)z−kq(t) 带入方程中仍然可以将其当作一个可分方程去求解。