各位小伙伴们好久不见呀!

前面几个月一直在忙一篇论文和一篇审稿回复，真的是心力交瘁，所以一直没有腾出空来上知乎。前几天看到有了这么多人点赞关注和私信都好感动呀。抱歉没有第一时间回复大家的私信和评论，真不好意思...不过，真的十分谢谢大家的支持与喜爱~

废话不多说，下面给出Munkres-拓扑学-习题及解答-第2章的第20节习题解答.

第20节的题目解答我做不出来的题目参考了下面这个网站:

Section 20: The Metric Topology

对于英语不错的小伙伴可以直接参考上面网站的答案呦.

下面是习题解答, PDF版本答案见文末.

d'(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) = |x_1 - y_1| + ... + |x_n - y_n|.\\

证明 d' 是诱导出 \mathbb{R}^n 的通常拓扑的一个度量. 当 n=2 时, 画出 d' 下的基元素.

(b) 更一般的, 对于 p \ge 1 和 \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^n , 定义

d'(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) = \left[\sum_{i=1}^n |x_i - y_i|^p\right]^{1/p}, \\

假定 d' 是一个度量. 证明它诱导出 \mathbb{R}^n 的通常拓扑.

证

(a) 根据Pg 93中 \rho 平方度量的定义

\rho(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) = \max\{|x_1 - y_1| , ... , |x_n - y_n|\},\\

我们可以得到

\rho(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \le d'(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \le n \rho(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}).\\

第一个不等式蕴含着 B_{d'}(\boldsymbol{x},\varepsilon) \subset B_\rho(\boldsymbol{x},\varepsilon) , 对于所有的 \boldsymbol{x} 和 \varepsilon 都成立. 这是因为若 d'(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) < \varepsilon , 则 \rho(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\varepsilon>0 使得开区间 (a - \varepsilon, a + \varepsilon) \subset U.

对于任意的 x' \times y' \in B_d(x,\varepsilon /2) \times B_d(y,\varepsilon /2), 我们都可以得到

\begin{align*} |d(x,y) - d(x',y')| = &~|d(x,y) - d(x', y) + d(x', y) - d(x',y')| \\ \le&~ |d(x,y) - d(x', y)| + |d(x', y) - d(x',y')| \\ \le&~ d(x, x') + d(y, y')\\ \le&~ \varepsilon, \end{align*}\\

即 d(x',y') \in (a - \varepsilon, a + \varepsilon) \subset U, 也就是说, x' \times y' \in d^{-1}(U). 这蕴含着 B_d(x,\varepsilon /2) \times B_d(y,\varepsilon /2) \subset d^{-1}(U). 由于 B_d(x,\varepsilon /2) \times B_d(y,\varepsilon /2) 是 X\times X 上的开集并且 x \times y \in B_d(x,\varepsilon /2) \times B_d(y,\varepsilon /2) \subset d^{-1}(U) , 所以 d^{-1}(U) 是一个开集.

(b) 对于 X' 中任意的 x , 用 d_x(y) = d(x,y) 来定义映射 d_x:X' \to \mathbb{R} . 由于 d:X' \times X' \to \mathbb{R} 连续, 则 d 分别关于每个变量连续,

因此 d_x 是连续的. 对于 X 的每一个基元素 B_d(x,\varepsilon) 都有

B_d(x,\varepsilon) = \{y| d(x,y)< \varepsilon\} = \{y| d_x(y)< \varepsilon\} = d_x^{-1}((-\infty, \varepsilon)).\\

由于 (-\infty, \varepsilon) 是开的且 d_x 连续, 因此 B_d(x,\varepsilon) 也是 X' 上的一个开集. 我们由此可以得到 X' 细于 X.

4. 考虑 \mathbb{R}^\omega 的积拓扑, 一致拓扑, 和箱拓扑.

(a) 哪些拓扑是使得以下从 \mathbb{R} 到 \mathbb{R}^\omega 的函数连续的拓扑?

\begin{align*} f(t) =&~ (t, 2t, 3t, ...),\\ g(t) =&~ (t, t, t, ...),\\ h(t) =&~ \left(t, \frac{1}{2} t, \frac{1}{3} t, ...\right). \end{align*}\\

(b) 哪些拓扑是使得以下序列收敛的拓扑?

\begin{align*} \boldsymbol{w}_1 =&~ (1,1,1,1,...), & \boldsymbol{x}_1 =&~ (1,1,1,1,...),\\ \boldsymbol{w}_2 =&~ (0,2,2,2,...), & \boldsymbol{x}_2 =&~ \left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},...\right),\\ \boldsymbol{w}_3 =&~ (0,0,3,3,...), & \boldsymbol{x}_3 =&~ \left(0,0,\frac{1}{3},\frac{1}{3},...\right),\\ ... & & ... \\ \boldsymbol{y}_1 =&~ (1,0,0,0,...), & \boldsymbol{z}_1 =&~ (1,1,0,0,...),\\ \boldsymbol{y}_2 =&~ \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0,0,...\right), & \boldsymbol{z}_2 =&~ \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0,0,...\right),\\ \boldsymbol{y}_3 =&~ \left(\frac{1}{3},\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, 0,...\right), & \boldsymbol{z}_3 =&~ \left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},0,0,...\right),\\ ... & & ... \end{align*} \\

(a) 在箱拓扑下, 三个函数都不连续. 考虑 \mathbb{R}^\omega 上的箱拓扑中的开集\left((-1,1),\left(-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right), \left(-\frac{1}{9}, \frac{1}{9}\right)...,\left(-\frac{1}{k^2}, \frac{1}{k^2}\right),...\right).\\

它的在这三个函数下的原像都是 \{0\}, 这不是一个开集. 因此, 对于箱拓扑, 这三个函数都不连续.

在一致拓扑下, 函数 f 不连续. 因为开球 B_{\bar{\rho}}(0,1) 在f下的原像为 \{0\} . 函数 g 和 h 连续. 给出两个方法来证明

方法1: 定义函数 k(t) = (a_1 t, a_2 t, ...) . 当 a_n = 1 时, k(t) = g(t); 当 a_n = \frac{1}{n} 时, k(t) = h(t). 令 k(t)\in B_{\bar{\rho}}(\boldsymbol{x},\varepsilon). 对于任意 n\in \mathbb{Z}_+,

|x_n - a_n t| \le \sup\{|x_n - a_n t|~|~ n \in \mathbb{Z}_+\} \triangleq \delta < \varepsilon. \\

对于任意 |z| < \frac{\varepsilon + \delta}{2},

|x_n - a_n(t + z)|\le|x_n - a_n t | + a_n |z| < \delta + \frac{\varepsilon - \delta}{2} = \frac{\varepsilon + \delta}{2} n > n_N , 都有 \boldsymbol{w}_n \in \prod_{n \in \mathbb{Z}_+} U_n , 因此\{\boldsymbol{w}_n\} 在积拓扑中收敛到 \boldsymbol{0}; 在一致拓扑中, 开球 B(\boldsymbol{0},1) 不包含序列的任意一点, 因此 \{\boldsymbol{w}_n\} 在一致拓扑中不收敛; 由于箱拓扑细于一致拓扑, 因此 \{\boldsymbol{w}_n\} 在箱拓扑中也不收敛.

序列 \{\boldsymbol{x}_n\} 在积拓扑和一致拓扑中收敛, 在箱拓扑中不收敛. 在一致拓扑中, 对于任意以 \boldsymbol{0} 为中心的 \varepsilon-球 B_{\bar{\rho}}(\boldsymbol{0}, \varepsilon), 可以取一个足够大的 N 使得 N>\frac{1}{\varepsilon}. 这样, 对于任意 n > N, 都有 \boldsymbol{x}_n \in B_{\bar{\rho}}(\boldsymbol{0}, \varepsilon). 故 \{\boldsymbol{x}_n\} 在一致拓扑中收敛; 因为一致拓扑细于积拓扑, \{\boldsymbol{x}_n\} 也在积拓扑中收敛; 在箱拓扑中, 开集 \left(-1,1\right) \times \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\times \left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right) \times ... 不包含序列中的任何一点, 因此 \{\boldsymbol{x}_n\} 在箱拓扑中不收敛.

序列 \{\boldsymbol{y}_n\} 在积拓扑和一致拓扑中收敛, 在箱拓扑中不收敛. 与 \{\boldsymbol{x}_n\} 一样, 在一致拓扑中, 可以取一个足够大的 N 使得 N>\frac{1}{\varepsilon} , 从而对于任意 n > N , 都有 \boldsymbol{y}_n \in B_{\bar{\rho}}(\boldsymbol{0}, \varepsilon); 同上, \{\boldsymbol{y}_n\} 也在积拓扑中收敛; 在箱拓扑中, 开集 \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\times \left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right) \times ... 不包含序列中的任何一点, 因此 \{\boldsymbol{y}_n\} 在箱拓扑中不收敛.

序列 \{\boldsymbol{z}_n\} 在三种拓扑中都收敛. 在箱拓扑中, 任意包含 \boldsymbol{0} 的开集一定包含基元素B \triangleq (-\varepsilon_1, \varepsilon_1) \times (-\varepsilon_2, \varepsilon_2) \times U_3 \times U_4 \times ... . 取 N > \frac{1}{\min\{\varepsilon_1, \varepsilon_2\}} . 对于所有 n > N 都有 \boldsymbol{z}_n \in B. 所以 \{\boldsymbol{z}_n\} 在箱拓扑中收敛. 由于箱拓扑细于一致拓扑和积拓扑, \{\boldsymbol{x}_n\} 在一致拓扑和积拓扑中也收敛.

5. 设 \mathbb{R}^{\infty} 是由 \mathbb{R}^{\omega} 中所有终端为 0 的序列组成的子集. 在一致拓扑下, \mathbb{R}^\infty 在 \mathbb{R}^\omega 中的闭包是什么? 证明你的结论.

设X 为所有收敛到 0 的序列构成的集合,

|y_{n_N}|\ge|x_{n_N}| - |x_{n_N}-y_{n_N}| > |x_{n_N}| - \varepsilon/2 \ge \varepsilon/2.\\

所以 \boldsymbol{y}\not \in \mathbb{R}^\infty,

故 B(\boldsymbol{x},\varepsilon/2) 与 \mathbb{R}^\infty 无交, \boldsymbol{x} 不属于 \mathbb{R}^\infty 的闭包.

综上所述, \mathbb{R}^\infty 在 \mathbb{R}^\omega 中的闭包为 X .

6. 设 \bar{\rho} 是 \mathbb{R}^{\omega} 的一致度量. 给定 \boldsymbol{x} = (x_1, x_2, ...) \in \mathbb{R}^\omega 和 00, 用 h((x_1, x_2, \cdots)) = (a_1 x_1 + b_1, a_2 x_2 + b_2, \cdots) 定义一个函数 h: \mathbb{R}^\omega \to \mathbb{R}^\omega.

并且赋予 \mathbb{R}^\omega 一致拓扑. 当 a_i 和 b_i 满足什么条件时, h 连续? 什么条件会使得 h 为同胚?

当 a_n 有一个上界, 即存在一个 M >0 使得

\begin{align*}a_n m>0 使得

\begin{align*}a_n >m, ~~ \forall~ n \in \mathbb{Z}_+,\end{align*} \\

那么 h 为同胚.

证 假设 V 是一个开集且 \boldsymbol{x} \in h^{-1}(V) , 则存在一个球 B_{\bar{\rho}}(h(\boldsymbol{x}), \varepsilon) \subset V. 由习题6的(c)我们可以得到, 对于任意 \boldsymbol{y}\in B_{\bar{\rho}}\left(\boldsymbol{x}, \frac{\varepsilon}{M}\right) , 都有一个 \delta < \varepsilon 使得 \boldsymbol{y} \in U(\boldsymbol{x}, \frac{\delta}{M}). 我们进而可以得到

\bar{\rho}(h(\boldsymbol{x}), h(\boldsymbol{y})) = \sup_{n\in \mathbb{Z}_+}a_n|x_n - y_n| \le M \cdot \frac{\delta}{M} =\delta < \varepsilon. \\

故 h(\boldsymbol{y})\in B_{\bar{\rho}}(h(\boldsymbol{x}), \varepsilon), 即 \boldsymbol{y} \in h^{-1}(B_{\bar{\rho}}(h(\boldsymbol{x}), \varepsilon))\subset h ^{-1}(V). 我们进而可以得到 B_{\bar{\rho}}\left(\boldsymbol{x}, \frac{\varepsilon}{M}\right) \subset h ^{-1}(V), 故 h^{-1} (V) 是开的, h 连续.

h 的逆定义为

h^{-1}((x_1, x_2, \cdots)) = \left(\frac{1}{a_1}{x_1} - \frac{b_1}{a_1}, \frac{1}{a_2}{x_2} - \frac{b_2}{a_2}, \cdots\right).\\

如果存在一个 m>0 使得 a_n >m, ~ \forall~ n \in \mathbb{Z}_+, 那么一定有 \frac{1}{a_n} < \frac{1}{m},~ \forall~ n \in \mathbb{Z}_+. 根据上面的讨论我们可知, 这蕴含着 h^{-1} 连续. 综上, h 为同胚.

8. 设 X 为 \mathbb{R}^\omega 中所有满足 \sum x_i^2 收敛的序列 \boldsymbol{x} 所构成的子集. 用公式

d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) = \left[\sum_{i=1}^\infty (x_i - y_i)^2\right]^{\frac{1}{2}} \\

定义 X 上的一个度量(见习题10). X 分别由 \mathbb{R}^{\omega} 的箱拓扑, 一致拓扑, 和积拓扑继承了三个拓扑. 用上式给出的度量 d 也定义了 X 的一个拓扑, 称之为 \ell^2-拓扑.

(a) 证明: 对于 X 而言, 以下包含关系成立:

箱拓扑~ \supset \ell^2-拓扑~ \supset 一致拓扑. \\

(b) 所有终端为 0 的序列所构成的集合 \mathbb{R}^\infty 是 X 的子集. 证明: 作为 X 的子空间, \mathbb{R}^\infty 所继承的四种拓扑互不相同.

(c) 集合

H = \prod_{n \in \mathbb{Z}_+}[0, 1/n]\\

是 X 的一个子集. 称之为Hilbert 立方(Hilbert cube). 试比较 H 作为 X 的子空间所继承的四种拓扑.

(a) 证 首先来证明第一个包含关系.

对于 \ell^2- 拓扑中的每一个开集 U 以及任意 \boldsymbol{x} \in U, 一定有一个 \varepsilon 使得 B_d(\boldsymbol{x}, \varepsilon) \subset U. 我们考虑箱拓扑中的集合 M(\boldsymbol{x}) = \prod\left(x_i - \frac{\varepsilon}{2^i}, x_i + \frac{\varepsilon}{2^i}\right).\\

注意到 M(\boldsymbol{x}) 是 X 的一个开集. 这是因为, 对于任意 \boldsymbol{y} \in M(\boldsymbol{x}) , 我们都有

\sum_{i = 1}^\infty y_i^2 \le 2 \sum_{i = 1}^\infty x_i^2 + (x_i - y_i)^2 0">\varepsilon > 0, B_d(\boldsymbol{0}, \varepsilon) \cap \mathbb{R}^\infty中总有不在 U' 的点: 我们可以取一个足够大的 n , 使得 \frac{1}{n} < \frac{\varepsilon}{2} , 那么

(\underbrace{0, 0, 0, ...}_{n-1}, \frac{\varepsilon}{2}, 0, 0, ... )\\

就是一个在 B_d(\boldsymbol{0}, \varepsilon) \cap \mathbb{R}^\infty 中而不在 U' 中的点. 这说明了箱拓扑与 \ell^2-拓扑的子空间拓扑不同.

接下来, 考虑球 B_d(\boldsymbol{0}, 1) \cap \mathbb{R}^\infty. 我们可以得到 \boldsymbol{0} \in B_d(\boldsymbol{0}, 1) \cap \mathbb{R}^\infty. 然而, 对于任意 \varepsilon > 0, B_{\bar{\rho}}(\boldsymbol{0}, \varepsilon) \cap \mathbb{R}^\infty 中总有不在 B_d(\boldsymbol{0}, 1)\cap \mathbb{R}^\infty 的点: 我们可以选取一个足够大的 n 使得 n > \frac{2}{\varepsilon} , 那么,

\left(\underbrace{\frac{\varepsilon}{2}, \frac{\varepsilon}{2}, ..., \frac{\varepsilon}{2}}_{n^2}, 0, 0, ... \right)\\

就是一个在 B_{\bar{\rho}}(\boldsymbol{0}, \varepsilon) \cap \mathbb{R}^\infty 中而不在 B_d(\boldsymbol{0}, 1) \cap \mathbb{R}^\infty 中的点. 这说明了 \ell^2-拓扑与一致拓扑的子空间拓扑不同.

最后, 要证明一致拓扑与积拓扑的子空间拓扑不同, 我们需要借助定理 20.5中积拓扑的另一种定义. 对于任意 0 0 , B_D(\boldsymbol{0}, \delta)\cap \mathbb{R}^\infty 中总有不在 B_{\bar{\rho}}(\boldsymbol{0}, \varepsilon)\cap \mathbb{R}^\infty 中的点: 我们可以选取一个足够大的 n 使得 n > \frac{2 \varepsilon}{\delta} , 从而有

\left(\frac{\delta}{2}, \delta, \frac{3\delta}{2}, ..., \frac{n \delta}{2}, 0, 0, ... \right) \in B_D(\boldsymbol{0}, \delta) \cap \mathbb{R}^\infty, \\

且

\left(\frac{\delta}{2}, \delta, \frac{3\delta}{2}, ..., \frac{n \delta}{2}, 0, 0, ... \right) \not\in B_{\bar{\rho}}(\boldsymbol{0}, \varepsilon) \cap \mathbb{R}^\infty.\\

这说明了一致拓扑与积拓扑的子空间拓扑不同.

(c) 基于(b)中相同的考虑, 下述关系

箱拓扑~ \supset \ell^2-拓扑~ \supset 一致拓扑 \supset 积拓扑.

在子空间拓扑中依然成立. 下面仅仅讨论它们之间是否相同.

在子空间H中, 箱拓扑严格细于 \ell^2-拓扑. 对于箱拓扑, \prod_{n= 1}^\infty \left[0, \frac{1}{n+1}\right) 是子空间拓扑中包含 \boldsymbol{0} 的一个开集. 但在 \ell^2-拓扑中, 对于任意 \varepsilon > 0, B_d(\boldsymbol{0}, \varepsilon) \cap H 总有不在 \prod_{n= 1}^\infty \left[0, \frac{1}{n+1}\right) 中的点: 我们可以选取一个足够大的 k 使得 k>\frac{1}{\varepsilon} , 并将这个点取为

\left(\underbrace{0, 0, ..., 0}_{k-1}, \frac{1}{k}, 0, 0, ... \right).\\

另外三个拓扑相同. 关于这一点, 我们只需证明在子空间 H 中, 积拓扑细于 \ell^2-拓扑. 对于任意 \varepsilon > 0, 考虑球 B_d(\boldsymbol{x}, \varepsilon). 现在我们证明, 在 H 的积拓扑中存在 \boldsymbol{x} 的邻域 U 使得 U\subset B_d(\boldsymbol{x}, \varepsilon)\cap H.

现在, 我们选取一个足够大的 n 使得 \sum_{i>n}\frac{1}{i^2} < \frac{\varepsilon^2}{2}, 集合

U = \prod_{i \le n}\left(\left(x_i - \frac{\varepsilon^2}{2n}, x_i + \frac{\varepsilon^2}{2n}\right) \cap \left[0, \frac{1}{i}\right]\right) \times \prod_{i > n}\left[0, \frac{1}{i}\right].\\

在 H 的积拓扑中是开的, 并且, 对于任意 \boldsymbol{y} \in U,

[d(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})]^2 < \sum_{i \le n}\frac{\varepsilon^2}{2n} +\sum_{i>n}\frac{1}{i^2} < \varepsilon^2,\\

即 \boldsymbol{y} \in B_d(\boldsymbol{x}, \varepsilon)\cap H. 这蕴含着 \boldsymbol{x} \in U\subset B_d(\boldsymbol{x}, \varepsilon)\cap H. 这也就证明了, 子空间 H 中, 积拓扑细于 \ell^2-拓扑.

9. 我们可以这样证明 \mathbb{R}^n 的欧氏度量 d 是一个度量: 对于 \boldsymbol{x},\boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^n和 c\in \mathbb{R} , 定义

\begin{align*} \boldsymbol{x}+ \boldsymbol{y} =&~ (x_1 + y_1, ... , x_n + y_n),\\ c \boldsymbol{x} =& ~(c x_1, ..., cx_n ),\\ \boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y} =&~ x_1 y_1 + ... + x_n y_n. \end{align*} \\

(a) 证明 \boldsymbol{x}\cdot(\boldsymbol{y} + \boldsymbol{z}) = (\boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{y}) + (\boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{z}) .

(b) 证明 |\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}| \le \|\boldsymbol{x}\|\|\boldsymbol{y}\| . [提示: 若 \boldsymbol{x},\boldsymbol{y} \neq 0 , 令 a = 1/\|x\|, b = 1/\|y\| , 应用 \|a\boldsymbol{x}\pm b\boldsymbol{y}\|\ge 0.]

(c) 证明 \|\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}\| \le \|\boldsymbol{x}\| + \|\boldsymbol{y}\|. [提示: 计算 (\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y})\cdot(\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}) , 并应用(b)小题.]

(d) 证明d是一个度量.

证

(a) 可利用乘法分配律得到.

(b) 如果 \boldsymbol{x} 或 \boldsymbol{y} 为 0 , 则等号成立. 若二者都不为 0 , 根据(a)可以得到

\begin{align*}\|a\boldsymbol{x}\pm b\boldsymbol{y}\|^2 =&~ a^2 \boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{x} + b^2 \boldsymbol{y} \cdot \boldsymbol{y} \pm 2 a b \boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{y}\\ =&~ a^2 \|\boldsymbol{x}\|^2 + b^2 \|\boldsymbol{y}\|^2 \pm 2 a b \boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{y} \\ =&~ 2\pm 2 a b \boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{y} \\ \ge&~ 0. \end{align*} \\

最后一个不等式整理后可以得到 |\boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{y}| \le \frac{1}{ab} = \|\boldsymbol{x}\|\|\boldsymbol{y}\|.

(c) 根据(b)可以得到

\begin{align*} \|\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}\|^2 =&~ (\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y})\cdot(\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}) \\ =&~ \|\boldsymbol{x}\|^2 + \|\boldsymbol{y}\|^2 + 2 \boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y} \\ \le&~ \|\boldsymbol{x}\|^2 + \|\boldsymbol{y}\|^2 + 2 |\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}| \\ \le&~ \|\boldsymbol{x}\|^2 + \|\boldsymbol{y}\|^2 + 2 \|\boldsymbol{x}\| \|\boldsymbol{y}\| \\ =&~(\|\boldsymbol{x}\| + \|\boldsymbol{y}\|)^2. \end{align*}\\

由于 \|\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}\| \ge 0 并且 \|\boldsymbol{x}\| + \|\boldsymbol{y}\| \ge 0, 上面的不等式蕴含着 \|\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}\| \le \|\boldsymbol{x}\| + \|\boldsymbol{y}\|.

(d) 度量的前两个条件的证明是很显然的. 对于三角不等式, 根据(c)可以得到

d(\boldsymbol{x} , \boldsymbol{y}) +d(\boldsymbol{y} , \boldsymbol{z}) = \|\boldsymbol{x} - \boldsymbol{y}\| + \|\boldsymbol{y} - \boldsymbol{z}\| \ge \|\boldsymbol{x} - \boldsymbol{y} + \boldsymbol{y} - \boldsymbol{z}\| = \|\boldsymbol{x} - \boldsymbol{z}\| = d(\boldsymbol{x} , \boldsymbol{z}). \\

因此 d 是一个度量.

10. 设 X 为 \mathbb{R}^\omega 中所有使得 \sum x_i^2 收敛的序列 (x_1, x_2, ...) 所构成的集合. (这里我们要承认有关无穷数列的某些基本性质. 倘若你对这些性质不熟悉,请参见下一节的习题11.)

(a) 证明: 若 \boldsymbol{x},\boldsymbol{y} \in X, 则 \sum |x_i y_i| 收敛.

(b) 设 c \in \mathbb{R} . 证明: 若 \boldsymbol{x},\boldsymbol{y} \in X , 则有 \boldsymbol{x} + \boldsymbol{y} \in X 和 c\boldsymbol{x} \in X .

(c) 证明

d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) = \left[\sum_{i = 1}^\infty (x_i - y_i)^2\right]^{1/2}\\

是 X 上的一个度量.

证

(a) 由习题9的(b)可知, 对于任意给定的 n , 都有

\sum_{i = 1}^n |x_i y_i| \le \left(\sum_{i = 1}^n x^2_i\right)^{\frac{1}{2}}\left(\sum_{i = 1}^n y^2_i\right)^{\frac{1}{2}} \le \left(\sum x^2_i\right)^{\frac{1}{2}}\left(\sum y^2_i\right)^{\frac{1}{2}}. \\

注意到由于 \boldsymbol{x},\boldsymbol{y} \in X, 上式右侧是一个常数. 定义序列 z_n = \sum_{i = 1}^n |x_i y_i|, 我们可以得知 z_n 是一个单调增且有界的序列. 根据单调有界定理, \sum |x_i y_i| 收敛.

(b) 首先, 我们来证明 \boldsymbol{x} + \boldsymbol{y} \in X. 注意到

\sum(x_i + y_i)^2 = \sum (x_i^2 + y_i^2) + 2\sum x_i y_i \le \sum (x_i^2 + y_i^2) + 2\sum |x_i y_i|. \\

根据本题的(a)可知, 上式的右侧是收敛的. 同样的, 根据单调有界定理, \sum(x_i + y_i)^2 收敛. 这蕴含着 \boldsymbol{x} + \boldsymbol{y} \in X.

其次, 关于 c\boldsymbol{x} \in X 的证明, 我们可以通过

\sum(c x_i)^2 = \sum c^2 x_i^2 = c^2 \sum x_i^2 \\

得到, 因为上式的右侧显然是收敛的.

(c) 首先我们需要知道, 由本题的(b), 对于任意的 \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in X , 都有 \boldsymbol{x} - \boldsymbol{y} \in X, 即 \sum (x_i - y_i)^2 是收敛的. 容易得到, \sum (x_i - y_i)^2 是非负的并且只有在 \boldsymbol{x} =\boldsymbol{y} 时它的值为 0 , 这蕴含着 d 满足度量的第一条性质. 对于第二条性质的证明也是显然的. 最后, 我们可以参考习题9中(b), (c), 和(d)中的证明思路, 得到关于三角不等式的证明.

11. * 证明: 若 d 是 X 的一个度量, 则

d'(x,y) = d(x,y)/(1 + d(x,y))\\

是诱导 X 的拓扑的一个有界度量. [提示: 对于 x>0 , 设 f(x) = x/(1+x) , 应用中值定理证明 f(a+b) - f(b) \le f(a).]

证

首先证明 d' 是一个度量. 考虑提示中的函数 f:\bar{\mathbb{R}}^+ \to [0,1). 它具有如下性质

1) 单调增

2) 非负

3) f(x) = 0 当且仅当 x=0 .

我们现在将 d' 表示为 f 与 d 的复合函数, 即 d' = f\circ d: X \times X \to [0,1). 根据度量 d 的性质以及 f 的性质2)和3)可知, f\circ d 是一个非负的函数, 且 f\circ d (x,y) = 0 当且仅当 x = y, 度量的第一条性质满足.

度量的第二条性质是显然的, 我们容易得到 d'(x,y) = d(x,y)/(1 + d(x,y))= d(y,x)/(1 + d(y, x)) = d'(x,y) . 现在我们考虑三角不等式. 对于任意的 a, b \ge 0 , 可以得到

f(a+b) - f(b) = \frac{a}{(1+a+b)(1+b)}\le\frac{a}{(1+a)} = f(a).\\

由上一个不等式及f的性质1)可以得到,

d'(x,y) + d'(y,z) = f(d(x,y)) + f(d(y,z)) \ge f(d(x,y) + d(y,z)) > f(d(x,z)) = d'(x,z),

d' 满足三角不等式.

综上所述, d' 是 X 的一个度量.

现在我们来证明 d' 与 d 诱导出的拓扑相同. 首先我们定义空间 X', 它的拓扑是由度量 d' 诱导出来的, 但作为集合 X' 与 X 相同.

注意到 f 和 f^{-1} 连续,

且 d: X\times X \to \mathbb{R} 和 d': X'\times X' \to \mathbb{R} 连续.

根据 d' = f \circ d 可以得知, d': X\times X \to \mathbb{R}连续.

根据本章习题3中(b)小题的结论, X 的拓扑细于 X' 的拓扑. 同理, 根据 d = f^{-1} \circ d' 可以得到 X' 的拓扑细于 X 的拓扑. 综上, 这两个拓扑相同.

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