细说解一元二次方程中的转化思想

       陈锁华

    在遇到解具体的一元二次方程时，我们必须认真分析方程的特征，灵活选择解法。公式法是解一元二次方程的通法，配方法是公式法的基础，直接开平方法、分解因式法解决某些特殊的一元二次方程非常简便，掌握各种解法中内在的转化思想才是把握了解方程的根本。

一. 未知向已知的转化――直接开平方法、配方法

  例1. 解方程：

    分析：方程的左边是关于x的完全平方式，右边是一个非负实数，能运用直接开平方法求解。

    解：方程两边同时开平方得：或，

    说明：直接开平方法是求解一元二次方程的四种解法中最基本的一种方法，它适用于形如：的一元二次方程，这种解法充分体现了将方程中的未知数向已知数的成功转化，同时又是后继解法的基础。

  例2. 解方程：

    分析：在运用配方法时，一般要求是先将方程的二次项系数化为1，然后再在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方。

    解：方程两边都除以4得：，移项得：，两边同时加上得：，左边配方得：或。

    说明：在配方法的应用中，一方面将方程的形式向直接开平方所要求的形式转化，即实施了式的转化，另一方面也实施了方法上的由已知向未知的转化。

二. 复杂向简单的转化――公式法

  例3. 解方程：

    分析：运用配方法可推导出方程的求根公式。

    解：略。

    说明：在寻求公式法的过程中，我们也对方程实施了形式、解法的转化，而公式法的运用最终是解决了一元二次方程求解方法从复杂向简单的转化，只要能确定一元二次方程的各项系数，利用公式就可求解方程，从这一点讲也奠定了公式法在求解一元二次方程中的重要地位。

三. 高次向低次的转化――分解因式法

  例4. 解方程：

    分析：方程两边都含有因式，我们可以先移项再利用分解因式法求解。

    解：移项得：，左边分解因式得：=0，

    说明：在运用分解因式法求解方程的过程中，我们最主要的是对方程实施了降次，从二次向一次的转化，也就是我们常说的降次思想的运用。

四. 特殊向一般的转化――换元法

  例5. 已知：，求的值。

    分析：将已知条件中的看成一个整体，设，原方程化为，解一个关于y的一元二次方程。

    解：设，原方程化为，将方程左边分解因式为：，得或，不合题意，舍去，所以的值是3。

    说明：换元法是在方程求解中应用非常广泛的一种基本思想方法，换元的目的可以实施降次转化、由繁向简的转化、由特殊向一般的转化，在学习过程中我们要重视数学方法的养成。

五. 一般向特殊的转化――特殊化法

  例6. 解方程：

    分析：注意方程的二次项、一次项系数，我们可以发现这两项是完全平方式的一部分，因此我们可以保留整体，直接运用配方法。

    解：移项得：，两边同时加上1得：=4，左边配方得：，。

    说明：在求解方程的过程中，我们要注意观察方程的特征，灵活选择解法，实施转化，巧妙求解。

    从上面五个方面我们可以看到，求解一元二次方程的过程基本上都是将要解决的问题转化为另一个较为容易的问题或已经解决的问题，具体地说就是把“新知识”转化为“旧知识”；把“未知”转化为“已知”；把“复杂”问题转化为“简单”问题，这些思想和方法就是贯穿本章的“化归思想”。