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题一、已知x=2/(2+√3−√5)，y=2/(2+√3+√5)，求S=⁸√((x⁴y⁴)/((x²+y²)²+4x²y²+4x³y+4xy³))

分析题目解：(x+y)⁴=x⁴+y⁴+6x²y²+4x³y+4xy³

分析题目，所求代数式看起来相当复杂，但其实熟悉和的四次方展开式的同学，会很快发现根式下的分母刚好就是一个和的四次方展开式，合成后不就完美破题了，

据此我们来解题，首先考察二元和的四次方展开式，即有，

(x+y)⁴先展开一个二次项即得到

(x+y)⁴=(x²+2xy+y²)²，

继续展开平方后得到，

(x+y)⁴=x⁴+y⁴+6x²y²+4x³y+4xy³，

此时我们化简下所求的代数式，看下需要求解哪些代数式，即有，

S展开分母的平方和的完全平方，即得到，

S=⁸√((x⁴y⁴)/(x⁴+y⁴+6x²y²+4x³y+4xy³))，

刚好分母就是我们展开后的和的四次方，那我们等价替换回去，即得到，

S=⁸√(x⁴y⁴/(x+y)⁴)，

那显然四次方和八次根号抵消掉四次，剩下一个二次根式，即得到

S=√|xy/(x+y)| ，也就是我们只需要求解xy/(x+y)的值即可，那我们倒转分子分母看下，即得到，

(x+y)/(xy)，拆分分子后得到，

(x+y)/(xy)=1/x+1/y，

此时我们代入已知条件的X和Y的值，即得到，

(x+y)/(xy)=(2+√3−√5)/2+(2+√3+√5)/2，

同分母相加，分子相加即可，最后算得

(x+y)/(xy)=2+√3 ，

则所求的，

S=1/√(2+√3)，分母有理化后得到，S=√(2−√3)，为了凑完全平方，需要给交叉项√3补一个系数2，即得到，S=√(4−2√3)/2，很容易拆分4为3+1，从而凑出完全平方式，则分子分母都开方出来，即得到

S=(√3−1)/√2，

最后分母有理化后得到，

S=(√6−√2)/2。

参考答案

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