在数学的世界里，规则一旦改变，就会出现很多奇怪的结果。

但是，有一条已经明确“警告”过我们不要去打破的规则：

零不能作除数！

究竟“零为什么不能做除数”呢?

如果你问高冷的Siri，“零除以零等于多少”，它会说：

“假如你有0块饼干，要分给0个朋友，每个人能分到几块？你看，这个问题没有任何意义吧？甜饼怪会难过，因为没有饼干吃，而你也会难过，因为你一个朋友都没有。”

抛开这个伤人的回答不论，除以零确实是个困扰很多人的问题。

同样是数字，为什么0就这么惨呢？

01 小学篇

小学算术里，这个问题很简单。如果你问老师，老师会直接告诉你：别问，问就是没意义！

怎么理解？那时我们把除法定义成“把一个东西分成几份”：

1÷2可以理解为1个东西分成2份。

同样：1÷3可以理解为1个东西分成3份。

但是：1÷0可以理解为1个东西分成0份。

但是你要怎么把1个饼干分给0个人呢？想象不出来嘛！所以不能除。

就是说，你啥也不用干！那啥也不用干，你为什么还要除以0呢，所以无意义。

这结论没错，但这么严谨的数学学科，怎么解释的一点逼格也没有呢？

02 初中篇

首先，除法起源于乘法，除法和乘法互为逆运算。强调这个有什么意义呢？因为面对除法式子，我们可以把它转化为乘法式子。

比如在被除数非0的时候：

1 ÷ 0 = ？

我们可以理解为0乘以一个数等于1，但是常识告诉我们这不可能，因为0乘以任何数都是0。

另外，当被除数是0的时候：

0 ÷ 0 = ？

我们可以理解为0乘以一个数等于0，嗯，没错啊，因为0乘以任何数都是0。

但到底是什么数呢？这意味着 0 ÷ 0有无数个答案，无法确定一个单一的答案。

03 高中篇

等到接触了基本的形式逻辑，我们可以换个角度想想，用另一种证明方式：反证法！

一堆真的表述，不能推导出一个假的表述，所以如果我们用“能够正常地除以零”加上别的一堆真表述，最后推出假的来，那只能说明“除以零”这件事情不成立了。

首先假设0可以作除数，那么任何一个数除以0之后就一定会有一个结果出现。我们用不同的字母代表可能会出现的结果。

比如：

1 ÷ 0 ＝ a

2 ÷ 0 ＝ b

3 ÷ 0 ＝ c

……

因为除法和乘法互为逆运算，我们可以得出：

1 ＝ a × 0 ＝ 0

2 ＝ b × 0 ＝ 0

3 ＝ c × 0 ＝ 0

……

进一步可以得出，1＝2＝3＝……＝0。

这显然是错的啦~因此，假设不成立。什么都是0，这岂不是四大皆空的节奏吗？

04 大学篇

刚学微积分课程就会立刻接触到∞这个符号。有些朋友可能会说，“可以除以0的，结果不就是∞么。

事实上，这个说法并不对。

首先，我们用极限思维来思考：

1÷0.1=10

1÷0.01=100

1÷0.001=1000

1÷0.0001=10000

……

1÷0.000000000……00001=10000…….00000

意味着1除以一个很小很小的正数，可以得到一个超级大的正数。

同理：

1÷(-0.1)=-10

1÷(-0.01)=-100

1÷(-0.001)=-1000

1÷(-0.0001)=-10000

……

1÷(-0.000000000……00001)=-10000…….00000

意味着1除以一个很小很小的负数，可以得到一个超级大的负数。

1除以一个无穷接近于0的正数和一个无穷接近于0的负数，走向的结果一个是正无穷，一个是负无穷。

在这个中间经历了多大的鸿沟，到底经历了什么，我们不得而知。而他们的中间，除以的正是0。

因此，微积分课程里会反复说，虽然用到了∞这个符号，但是这只是代表一个趋势，绝对不是一个真正的数，不可参与运算。

05 硕士篇

看到这里，有些人肯定不服气：虽然一个数除以0是未定义的，但并不是就意味着没有啊。

那我们不用现成符号了，我直接定义 1 / 0 = w，w是个“无限大”的数，不碰什么极限。

然而，定义不是说来就来的，我们虽然可以随便定义东西，但定义完了如果和现有的数学体系不相容，那就不能用，或者很不好用。

先来几个简单问题：1 + w＝？w – w＝？

我们可能会有这样的直觉：无穷大加1不也是无穷大么！至于无穷大减无穷大不就等于0，自己减自己嘛！

那不妨来加减一下：

1 + ( w – w ) = 1 + 0 = 1

可是！

( 1 + w ) – w = w – w = 0

这里面涉及到的结合律，是加法里最基本的东西。也正因为它，才使得许多数学定理得以证明。

如果结合律坍塌，那涉及到它的数学定理也一样兵败如山倒。

为了一个w，连结合律都不要了，明显不划算。那还不如老老实实用旧体系…….

06 博士篇

还有一些不服气的同学可能又会提出反对：有那么多的定义方式，我都试过？而且将来也可能会有新的办法啊。

“新发现推翻旧结论”这种事情，在生物里可以有，化学里可以有，物理里可以有，唯独数学里没有。

因为数学在两千多年的发展都是建立逻辑上，个案有例外，逻辑没有例外。

假如确实存在w这个数，那么它一定违反了我们现有数学体系中的公理。

比如有一组基本的公理叫“皮亚诺公理”：

Ⅱ、每一个确定的自然数a，都具有确定的后继数a’ ，a’也是自然数(数a的后继数a’就是紧接在这个数后面的整数(a+1)。例如:1’=2，2’=3等等。)

Ⅳ、不同的自然数有不同的后继数，如果自然数b、c的后继数都是自然数a，那么b=c。

那么问题又又又来了， w 是谁的后继数啊？谁加上1能得到 w？

你会发现根本说不出来，因为所有你能想到的数字都已经有属于自己的后继，只要把 w 当成一个数，那就没法兼容我们现有的实数。

所以我们在几乎所有场合下都只能宣布，不能除以0。

07 拓展必读篇

既然我们之前说了个“几乎”，那就是有例外的——在个别奇葩场合下，可以。

事实上，还有一种“黎曼球面”的概念，是一种将复数平面加上一个无穷远点的扩张。

里面涉及到“复无穷”的一个东西，是扩充复平面上有定义的一个点。

在这个特殊的规则下你可以写下 1 / 0 = ∞ 这样一个表达式。

这么做的原因就说来话长了，但它不是平常意义上的运算——比如你不能把0拿回来，不能写 1 = 0 * ∞。

然而黎曼球解决的并非是我们能否除以0的问题，它主要应用在分析和几何的其他学科，譬如量子力学和物理学其他分支。

说到底，0能不能作为除数只是一个规则问题，如果确实要讨论的话，那就只是在讨论这个规则的合理性。

所以在通常意义下0不能作为除数，否则会违反了一些非常重要的公理，而这些公理的地位可是非常之高。

当你可以完美的除以0，就推翻整个数学界了。

在2600年的数学史长河里，藏着许多令人震撼且神秘的故事，数学引领着无数人为之探索。目前用最浅显易懂的方式除以零，是做不到的。

但是，那不应该阻止我们去冒险，并试图用实验去“挑战”数学规则。

试试看，也许我们能探索出更多有趣的新观点。

心理学家说：“让孩子爱上学习的最好方法，是激发孩子内心探索的欲望。”

当数学不再是枯燥的数字和冰冷的定理时，孩子们的学习热情才能真正被激发。

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