三种方法完成 Z 反变换

  作为处理序列数据和离散时间系统的 有力数学工具，  z 变换被广泛使用。 进行 z 反变换， 常用到的方法 包括留数方法、因式分解、长除方法等。 在第十次作业中包括一道小题， 要求分别使用这三种方法， 练习求解 z 反变换。 下面让我们讨论对比一下这三种方法求解 z 反变换时的特点。

  下面先讨论一下第一种方法， 留数法。   序列的 z 变换是一个 有理分式， 它包括有两个极点， 分别位于 1， 和 2。 根据题意它的收敛域为一个圆环。 留数方法的本意是公式法， 利用复变函数中的留数定理， 将复变函数的围线积分转换为计算该解析函数在围线内所有极点处的留数之和。  当 n 大于等于 0 时，  在围线路径之内只有 z 等于 1 这一极点。 那么根据留数计算法则， 计算积分内表达式 在 1 这一点的留数， 计算结果为 -10。 这是序列右边表达式。   当 n 小于 0 时， 原来分子上的 z 的 n 次方， 便形成了在原点处的 高阶极点。直接求取比较困难。 利用复变函数中的留数定理 2，   可以将围线内留数之和的计算， 转换为计算围线积分外边极点的留数之和。 根据解析信号所有极点留数， 包括无穷远点出的留数在内， 之和等于0。 所以 x[n] 等于 围线外极点留数之和， 乘以负一。 根据留数法则可以得到 x[n] 的结果。 这是序列左边的表达式。 将两者合并在一起，便可以得到对应的双边序列的结果。

  下面讨论因式分解方法，  这个方法实际上在前面练习题中已经讨论过了。 在这里就直接给出因式分解的结果。再根据每个因式对应的极点在收敛域的位置， 分别判断序列是左边序列还是右边序列。  第一个因式，对应的极点 1 位于收敛域的内部。 它对应的是右边序列。 对于极点 2 ， 位于收敛域的外边， 它对应的是左边指数序列。   将它们合并在一起， 便可以得到双边序列的表达式结果了。

  最后，  讨论一下长除方法。 根据序列的 z 变换定义，  将有理分式通过长除方法展开成关于 z， 或者 z 的负一次方的多项式， 多项式的系数就是序列 x[n]。 由于长除方法所得到的结果只适合于单边序列，  但本题是一个双边序列， 所以需要将有理分式进行分解， 分解成对应的左边序列和右边序列。  这样便可以分别应用长除方法得到对应的两边序列了。 在前面因式分解方法求解过程中， 实际上我们已经得到了两个因式， 它们分别对应右边序列 和左边序列。 

  下面针对这两个因式， 分别通过长除方法得到序列的右边和左边序列的表达式。  对于第一个因式， 它对应右边序列。 将分母、分子多项式，按照 z 的降幂顺序进行排列， 这样长除所得到的结果辨识关于 z 的负一次方的多项式，  对应着序列的因果部分的数值。 归纳总结数值序列，可以得到序列右边表达式。 

  对于第二个因式， 对应着序列的左边序列，  将分子和分母表达式 按照 z 的升幂顺序排列， 这样便可以得到对应关于 z 的多项式， 它的系数对应着序列的数值。 通过归纳可以得到左边序列的表达式。 将这两个部分结合在一起，  便可以得到序列的表达式。 当然如果序列是单边序列， 则只需要经过一次长除方法便可以得到最终的结果了。

  本文中，  对于第十次作业中的一个练习题进行了讨论。 使用了三种方法对于给定的 z 变换有理分式进行了反变换。  可以看到他们求解的思路和特点。

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