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完整版一元二次方程综合培优含参考答案 成都七中近几年考试真题一览（参考答案） 2 1、已知x 5x 2000 x2 0,则一 3 x x 2 2 11的值是（D） A、2001 B、2002 C、2003 D、2004 答案：D 解析：由x2 5x 2000 0得：x2 4x x 2000 3 2 2 2 x2x 1 1 2x 1 1 2 x2x 一x 2 x 4x4 x2004x2004 x2x2x2 归纳：本题解决的方法是通过降次达到化简的目的。   2 2、已知a2004a 10,则2a2 4007a 2004 2a 1 答案： 2002 解析: 由a22004a 10得：a2 12004a, 21 a2004a1,a2004 a 原式 22004a1 2004 4007a a2 1 2002 气UUtci 2004a a 归纳：本题解决的方法是通过降次达到化简的目的。 22a 3、若ab1，且5a2005a70，7b2005b50，则卫 b 答案：- 5 2 211 解析：由7b2005b50得：5-2005—70 bb tab1，即a- b 1 •••把a和1作为一元二次方程5x22005x70的两根 b 1a7 …a bb5 归纳：本题是通过构造一元二次方程的两根，利用根与系数的关系解决问题。 4、已知方程2x22ax3a40没有实数根，则代数式Va28a162a 答案： 2 考点： 根的判别式。 分析： 由方程2x2ax3a 4 0没有实数根，得 0,求的a的范围，然后根据此范围 化简代数式。 解答： 解：•••已知方程2x2 2ax 3a40没有实数根 0，即4a2423a 4 2 0,a6a80, 得2a4 则代数式Va28a16|2a||a4||a2|4aa22 归纳：本题考查了一元二次方程根的判别式。当0时，方程没有实数根。同时考查了 元二次不等式的解法、二次根式的性质和绝对值的意义。 5、已知y2x,6x，贝Uy的最大值为. 答案: 97 8 考点: 二次函数的最值。 专题: 计算题；换兀法. 分析: 此题只需先令6xt 0,用 x表示t,代入求 y关于t的二次函数的最值即可。 解答: 令..6xt0,x6 2t 则y 2x6x122t2t 2t2 1t122t 2 1 12- 48 1 又t0,且y关于t的二次函数开口向下，则在t-处取得最大值 4 即y最大值为伐1，即97 88 归纳：本题考查了二次函数的最值，关键是采用换元法，将.6x用t来表示进行解题比较 简便。 6、已知abe 0, abe2, e 0,则（ ) A、ab0 B、a b 2 C、ab 3D、ab4 答案：B 考点：根的判别式。 专题：综合题。 分析：由abe 0, abe2, e 0，得到a, b两个负数， 2 再由abe,ab-，这 e   样可以把a,b看作方程x2ex-0的两根，根据根的判别式得到c24-0,解得c2, e e 然后由a b e得到ab 2. 解答: abe0, abe 2, e 0 a 0, b0,e0 二a b 2e,ab e •可以把 a,b看作方程 2x ex 2 e 0 2e 2 420,解得e e 2 •e a b2，即a b 2 点评：本题考查了一元二次方程根的判别式：如方程有两个实数根，则0•也考查了元二次方程根与系数的关系以及绝对值的含义。 2 7、已知ab8,abc160，贝Uabe 答案：0 考点：因式分解的应用；非负数的性质：偶次方。 分析：本题乍看下无法代数求值，也无法进行因式分解；但是将已知的两个式子进行适当变 形后，即可找到本题的突破口。由ab8可得ab8;将其代入abc2160得： b28bc2160;此时可发现b28b16正好符合完全平方公式，因此可用非负数的性质求 出b、c的值， 进而可求得 a的值； 然后代值运算即可。 解答：•/ ab8 •ab 8 又tab c2160 •-b28b ic216 0，即b 22 4c20 二b4,c0 a4 abc0 归纳：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法. 232 8、已知mm10，贝Um2m2006 答案： 2005 考点： 因式分解的应用。 专题： 整体思想。 分析： 根据已知条件可得到m2m1，然后整体代入代数式求值计算即可。 解答： tm2m10 •2…m m1 •原式 mm2mm2006m2 m200612006 2005 点评：这里注意把要求的代数式进行局部因式分解，根据已知条件，整体代值计算。 2 9、已知ab4,abc40，则ab 答案：0 考点：拆项、添项、配方、待定系数法。 专题：计算题. 分析：先将字母b表示字母a，代入abc240，转化为非负数和的形式，根据非负数的性质求出a、b、c的值，从而得到ab的值。 解答：tab4 •ab4 代入abc240，可得（b4bc240，即b22c20 •••ab42 二ab0 归纳：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法。 解题关键是将代数式转化为非负数和的形式。 一2_ 10、若方程xpxq0的二根为Xi，x2，且Xi1，pq30，则x2() A、小于1B、等于1C、大于1D、不能确定 答案: A 考点: 根与系数的关系. 专题: 计算题. 分析: 方程X2 pxq 0的二根为X1,X2，根据根与系数的关系及已知条件即可求解。 解答: •••方程X2 px q0的二根为X1,X2 •x1 X2P, X1X2 q •••X1 1,pq 3 •X1 X2X1x2 3 •X2 Xx23 X12 •X2 X12 •••x112 •x21 归纳：本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x1,x2是方程x2pxq0的 两根时，x1x2p,x1x2 11、已知是方程X2X q- 31 —一1的值为 1 4 0的一个根，则- 答案： 5 考点： 因式分解的应用。 专题： 整体思想。 分析： 根据已知条件可得到 2 1 -0，即 21 2-然后整体代入代数式求值计算即 4 4 可。 解答： •/是方程 2 XX 1 0的一个根 4 •2 10, 即2 1 4 4 •原式 12 1 2 141 5 1 1 2 1 4 点评： 这里注意把要求的代数式进行局部因式分解， 根据已知条件，整体代值计算。 2432 12、若3xx1，则9x12x2x7x2008() A、2011B、2010C、2009D、2008 答案：B 考点：因式分解的应用. 专题：计算题；整体思想. 分析：将3x2x1化简为3x2x10,整体代入9x412x32x27x2008变形的式 子3x23x2x15x3x2x123x2x12010，计算即可求解. 解答：T3x2x1，即3x2x10 •••9x412x32x27x2008 2222 3x3xx15x3xx123xx12010 2010 归纳：本题考查因式分解的运用，注意运用整体代入法求解。 13、方程3x23x22的解为. 答案： 2 3 考点： 利用方程的同解原理解答。 专题： 计算题。 解答： ,3x23x22 两边同时平方得：3x23x22.9x244 整理得：..9x243x2 再平方得：12x8 解得：x- 3 归纳：本题考查将无理方程通过平方的方式转化为有理方程解答。 22 14、已知2x6xy 22 0，则xy 2x的最大值疋（ ) A、14 B、15 C、16 D、18 答案：B 考点：完全平方公式。 分析：由2x26xy2 0得y22x2 6x代入x2y2 2x，通过二次函数的最值，求出 它的最大值。 解答：2x26xy20化为y22x26x,0y—,0x3 2 故x2y22x8xx2 二次函数开口向下，当x4时表达式取得最大值 由于0x3 所以x3时此时y0,表达式取得最大值：15 点评：本题是中档题，考查曲线与方程的关系，直接利用圆锥曲线解答比较麻烦，利用转化思想使本题的解答比较简洁，注意二次函数闭区间是的最大值的求法。 15、方程x22|x|2m恰有3个实根，则m（） 答案: 专题： 换兀法。 分析： 设x2 3x 3 7y，原方程化成y空2，再整理成整式方程求解即可。 y 解答： 设x2 3x 7y，则y卫2 y •2 …y 2y3 0, 解得y11,y23 当％ 1时， 2 3V33 nv74布邳彳曰v x 3x/1,解得x2 当y2 3时， 2x 3x73，解得x2或5 3 、33 3 、33 v0cah 2 2560 2 考点: 换元法解分式方程。 归纳：本题考查了用换元法解分式方程，解次题的关键是把x23x7看成一个整体来计算, 即换元法思想。 17、关于x的一元二次方程2x25xa0（a为常数）的两根之比洛：x?2:3，则x洛 A、1 B、2 答案: C 考点: 一元一 .次方程根与系数的关系及求解。 解答: 设2x2 5x a 0的两根分别为2k 2k 3k?, 2k 3k a 2 2 二k 1 ,a 3 3k, c、 由根与系数的关系得: D、 2 答案: 根与系数的关系；代数式求值；完全平方公式。计算题。   归纳: 本题主要考查了方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系。难度中等。关键是 利用方程根的定义及完全平方公式将所求代数式降次，再结合根与系数的关系求解。 19、 若关于x的方程公亠 ax_1只有一解，求a的值。 x1xx x 答案 :a0或a— 2 考点 :解分式方程。 分析 :先将分式方程转化为整式方程， 把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论， “只 有一个解”内涵丰富，在全面分析的基础上求出a的值。 解答：原方程化为ax223ax10① (1)当a0时，原方程有一个解, (2)当a0时，方程① 22 5a4a10，总有两个不同的实数根，由题意知必有一个 根是原方程的增根，从原方程知增根只能是0或1，显然0不是①的根，故x1，得a-. 2 11 综上可知当a0时，原方程有一个解，x1,a-时，x2. 22 归纳：本题考查了解分式方程。注意：分式方程转化为整式方程不一定是等价转化，有可能 产生增根，分式方程只有一个解，可能足转化后所得的整式方程只有一个解，也可能是转化后的 整式方程有两个解，而其中一个是原方 立，求fX ax2bxca0的解析式。 2 考点： 函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质。 专题： 综合题。 分析： 取x1，由1f111，能够求出f11的值；由f1 _a 0，知 b c1 2 a b c0 所以ac 12 b，由xfx,对一切实数恒成立，知axbxcx,即 2 2 axb 1x c0对 一切实数恒成立，由此能求出fx的表达式。 解答： 解：(1)・.•二次函数fxax2bxca0满足f10且 xfx 2x 1 2 2x1 20、已知二次函数fxaxbxca0满足f10且xfx对一切实数恒成 •••取x1，得1 11 1 所以f11 •-acb- 2 •/xfx，对一切实数恒成立 •ax2b1xc0对一切实数恒成立 a0 …2 b14ac0 ac 16 1 ta0,ac一0 16 二c0 •••2ac2卫J,：当且仅当ac4时，等式成立 •£1211 …fx—xx— 424 点评：本题考查二次函数的性质的综合应用，考查函数解析式的求法，解题时要认真审题,仔细解答，注意函数恒成立条件的灵活运用。 2 21、已知fxaxbxca0. (2)若fx ―2—在（人，X2）内有一根为m且人 x22m1.若fx 0的对 称轴为xx0.求证：Xom2. 考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；二次函数的性质；等差数列的性质. 专题：计算题；转化思想. 分析：（1）通过计算一元二次方程的判别式大于0,可得方程有两个不相等的实数根；设方 第9页共20页 程对应的函数为gx,由g石gX20，可得方程有一个根属于（石,x?）. （2）由题意可得 rfX1fX2 即a2m2 2 X1 2 X2 b2mx X20 ,由于 fm_ 2 2 2 2 22 X1 x22m1，故b 222 a2mx1X2, 由X b 2m X1 X22 X1X2 证得结 0 m 2a 2 2 论。 解答：证明：（1）t 上fX1fX2 TX 2 2 •fxaxbxc —axfbx1c ax； bx2c 2 整理得：2ax22bx 22 ax1X2bx1 X2 0 故方程有两个不相等的实数根 fx1fx2 fXi 2 则gX1gX2 则gXgX2 故方程fx丄仝有一根在（X,X2）内。 2 (2)•••方程fx丄仝匕匚在(Xi,X2)内有一根为m 2 fXifX2 …fm- 2 a2m2xi2x；b2mxix20xix22m1 222 故Xo b 2a 2 2m 22 XiX2 2 22 2XiX22 mm 2 …ba2mxx2 点评：本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，等差数列的性质,体现了转化的数学思想。 •••把 和丄作为一元二次方程x2 3x10的两根 一元二次方程成都四中考试真题 1、若 1 x— x 1，则x3 1 丄的值为（ x ) A、3 B、4 C、5 答案： 4 考点： 因式分解的应用。 专题： 整体思想。 解答： Tx 丄1 x 2 •3 1 12 1 1 1 …x ~3 X—X 12x — x34 x x x x x   归纳：本题关键是将x 1 1作为整体， 31 然后将x3 进行因式分解变形解答。 x x 2、已知实数、满足 2 310, 2310, 且 1，则23 的值为（） A、1 B、3 C、一3 D、10 答案：D 解析：由231 0得 ：13- 2 1 -0,即 1 2 131 1—，— 3 1，即 丄3，-1，即 1910 归纳：本题是通过构造一元二次方程的两根，利用根与系数的关系解决问题。 3、实数x、y满足方程x2 2y2 2xyx3y10 ，则y最大值为（ ) 1 r3 3 A、- B、一 C、 — D、不存在 2 2 4 答案： B 考点： 根的判别式。 专题： 计算题；转化思想。 分析： 先把方程变形为关于 x的 兀二次方程x2 12yx2y23y 10，由于此方程 有解，所以 0,这样得到y 的不等式 4y28y30, 解此不等式，得到 y的取值范围, 然后 找到最大值。 解答： 把x22y22xy x3y 10看作为关于： 2 x的x12yx 2y23y1 0，并 22 4、方程2xx2的正根的个数为（） x A、3个B、2个C、1个D、0个 答案：D 考点：二次函数的图象；反比例函数的图象。 分析：此题实质是求函数y!2xx2和函数讨22的图象在一、四象限有没有交点，根据 x 两个已知函数的图象的交点情况，直接判断。 2 解答：设函数y12xx2，函数y2— x •••函数％2xx2的图象在一、三、四象限，开口向下，顶点坐标为（1,1）,对称轴x1 2 函数y2-的图象在一、三象限；而两函数在第一象限没有交点，交点在第三象限 x 即方程2xx22的正根的个数为0个。 x 归纳：此题用函数知识解答比较容易，主要涉及二次函数和反比例函数图象的有关性质，同 学们应该熟记且灵活掌握。 2x3 5、方程xx11的所有整数解的个数是（） A、2B、3C、4D、5 答案：C 考点：零指数幂。 专题：分类讨论。 分析：方程的右边是1,有三种可能，需要分类讨论。第1种可能：指数为0，底数不为0； A、1和1B、丄和1C、1和1D、1和1 3232 答案：B 考点：解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解. 分析：因为方程的两个根为3和1,所以方程可以方程因式为ax3x10,用含a的 式子表示b和c,代入后面的方程可以用因式分解求出方程的根。 解答：Tax2bxc0的两根为3和1 /•ax3x10 整理得：ax22ax3a0 二b2a,c3a 把b,c代入方程bx2cxa0，得：2ax23axa0 a2x1x10 1彳 --X1,x21 2 归纳：本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，把方程的两根代入方程，整理后用含a 的式子表示b和c,然后把b,c代入后面的方程，用因式分解法可以求出方程的根。 7、实数x、y满足x2xyy22，记ux2xyy2，则u的取值范围是（） A、2 3 u6 B、2u2C、1u6 3 D、1u2 答案： A 考点： 完全平方公式。 专题： 综合题。 分析： 把原式的xy变为2xyxy，根据完全平方公式特点化简， 然后由完全平方式恒大于等 于0，得到 xy的范围；再把原式中的xy变为2xy3xy，冋理得到 xy的另一个氾围，求出两氾 围的公共部分，然后利用不等式的基本性质求出22xy的范围，最后利用已知x2xyy22表 示出x2y2，代入到u中得到u22xy,22xy的范围即为u的范围。 解答：由x2xyy22得：x22xyy22xy0 即xy22xy0，则xy2 由x2xyy22得：x22xyy223xy0 即xy223xy0，则xy— 3 c2 2xy- 3 不等式两边同时乘以2得：42xy4