三重积分的计算方法介绍：

三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：

如果先做定积分?f(x,y,z)dz，再做二重积分??F(x,y)d?，就是“投

z1z2D影法”，也即“先一后二”。步骤为：找?及在xoy面投影域D。多D上一点（x,y）“穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完成“后二”这一步。???f(x,y,z)dv???[?f(x,y,z)dz]d?

?Dz1z2如果先做二重积分??f(x,y,z)d?再做定积分?F(z)dz，就是“截面

Dzc2c1法”，也即“先二后一”。步骤为：确定?位于平面z?c1与z?c2之间，即z?[c1,c2]，过z作平行于xoy面的平面截?，截面Dz。区域Dz的边界曲面都是z的函数。计算区域Dz上的二重积分??f(x,y,z)d?，完成

Dz了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分?F(z)dz，完成“后

c1c2一”这一步。???f(x,y,z)dv??[??f(x,y,z)d?]dz

?c1Dzc2当被积函数f（z）仅为z的函数（与x,y无关），且Dz的面积?(z)容易求出时，“截面法”尤为方便。

为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域?投影到xoy面，得投影区域D(平面)

（1） D是X型或Y型，可选择直角坐标系计算（当?的边界曲

面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）

（2） D是圆域（或其部分），且被积函数形如f(x2?y2),f()时，

可选择柱面坐标系计算（当?为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）

（3）?是球体或球顶锥体，且被积函数形如f(x2?y2?z2)时，

可选择球面坐标系计算

以上是一般常见的三重积分的计算方法。对?向其它坐标面投影或?不易作出的情形不赘述。

yx三重积分的计算方法小结：

1.对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域?及被积函数f(x,y,z)

的情况选取。

一般地，投影法（先一后二）：较直观易掌握；

截面法（先二后一）： Dz是?在z处的截面，其边界曲线方

程易写错，故较难一些。

特殊地，对Dz积分时，f(x,y,z)与x,y无关，可直接计算SDz。因而?

中只要z?[a,b], 且f(x,y,z)仅含z时，选取“截面法”更佳。

2.对坐标系的选取，当?为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲

面所围成的形体；被积函数为仅含z或zf(x2?y2)时，可考虑用柱面坐标计算。

三重积分的计算方法例题：

补例1：计算三重积分I????zdxdydz，其中?为平面x?y?z?1与三个坐标面

?x?0,y?0,z?0围成的闭区域。

解1“投影法” 1.画出?及在xoy面投影域D. 2. “穿线”0?z?1?x?y

X型 D：

0?x?1

0?y?1?x0?x?1∴?：0?y?1?x

0?z?1?x?y

3.计算

11?x1?x?y11?xI????zdxdydz??dx?dy?001?0zdz??dx?00111?x(1?x?y)2dy??[(1?x)2y?(1?x)y2?y3]10dx2203111311 ??(1?x)3dx?[x?x2?x3?x4]1 ?06062424

解2“截面法”1.画出?。2. z?[0,1] 过点z作垂直于z轴的平面截?得Dz。

Dz是两直角边为x,y的直角三角形，x?1?z,y?1?z

3.计算

111I????zdxdydz??[??zdxdy]dz??z[??dxdy]dz??zSDzdz

?0Dz0Dz0

1111??z(xy)dz??z(1?z)(1?z)dz??(z?2z2?z3)dz?22202400

补例2：计算???x2?y2dv，其中?是x2?y2?z2和z=1围成的闭区域。 解1“投影法”

?z?x2?2y2?1.画出?及在xoy面投影域D. 由?z?1消去z，

111得x2?y2?1即D：x2?y2?1

2. “穿线”x2?y2?z?1，

???1?x?1 X型 D：? 22???1?x?y?1?x??1?x?1??∴ ?:??1?x2?y?1?x2

?22??x?y?z?13.计算

11?x111?x2????x2?y2dv??dx?1??1?xdy2x?y2?2x2?y2dz??dx?1?1?x2?x2?y2(1?x2?y2)dy??6

注：可用柱坐标计算。

解2“截面法”

1.画出?。 2. z?[0,1] 过点z作垂直于z轴的平面截?得Dz：x2?y2?z2

?0???2?Dz： ?

?0?r?z?0???2?用柱坐标计算 ?:??0?r?z?0?z?1?

3.计算

112?z1

????x?ydv??[??0Dz221z2?x?ydxdy]dz??[?d??rdr]dz??2?[r3]0dz???z3dz?330600002221

补例3：化三重积分I????f(x,y,z)dxdydz为三次积分，其中?：

?z?x2?2y2及z?2?x2所围成的闭区域。

解：1.画出?及在xoy面上的投影域D.

22??z?x?2y?2由 ?消去z，得x2?y2?1 ?z?2?x即D： x2?y2?1

2.“穿线” x2?2y2?z?2?x2

???1?x?1 X型 D：? 22???1?x?y?1?x??1?x?1??：???1?x2?y?1?x2 ?x2?2y2?z?2?x2??11?x22?x23．计算 I????f(x,y,z)dxdydz??dx??1?1?x2?dyx2?2y2?f(x,y,z)dz

注：当f(x,y,z)为已知的解析式时可用柱坐标计算。

补例4：计算???zdv，其中?为z?6?x2?y2及z?x2?y2所围成的闭区域。

?解1“投影法”

1.画出?及在xoy面投影域D， 用柱坐标计算

?x?rcos?? 由?y?rsin? 化?的边界曲面方程为：z=6-r2，z=r

?z?z??z?6?r2?0???2?得r?2 ∴D：r?2 即?2.解?

0?r?2z?r??“穿线”

?0???2??r?z?6?r2 ∴?:?0?r?2?r?z?6?r2?2?26?r22

6?r23．计算

2???zdv???[?D?rzdz]rdrd???d??rdr00?r1?r2zdz?2??r[z2]6dr r202222 ???r[(6?r)?r]dr???(36r?13r2?r5)dr?0092?。 3解2“截面法”

1.画出?。如图：?由z?6?r2及z?r围成。 2. z?[0,6]?[0,2]?[2,6] ???1??2

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