En este apartado veremos algunas de las principales operaciones con polinomios: suma de polinomios, resta de polinomios, producto de un monomio por un polinomio, producto de dos polinomios y divisi贸n de polinomios.

La suma de dos polinomios es otro polinomio obtenido sumando o restando entre s铆 los monomios de ambos polinomios, en el que podemos simplificar entre s铆 los monomios semejantes (aquellos que tienen la misma parte literal).

Ejemplo

Sumemos los polinomios $P(x) = $ $ – 2 x^2 – 5$ y $Q(x) = $ $ x^3 + x^2 – 2 x + 1$.

Podemos calcular la suma de la siguiente manera $P(x) + Q(x) = $ $ (- 2 x^2 – 5) + (x^3 + x^2 – 2 x + 1) = $ $ x^3 + (- 2 x^2 + x^2) – 2 x +(- 5 + 1) = $ $ x^3 – x^2 – 2 x – 4$

Tambi茅n podemos calcular la suma en vertical:

$$\begin{eqnarray}  \; & \; & \hphantom{5 x^4} \; \; \; \; \; \hphantom{x^3} \; \; – \; \; 2 x^2 \; \hphantom{-7 x} \; \; \; – \; 5 \nonumber \\ + & \; &  \nonumber \\  \; & \; & \; \; \; \; \; \underline{\hphantom{5 x^4} x^3 \; \hphantom{2} + \; x^2 \; – \; 2 x \; \hphantom{.} + \;  1} \nonumber \\  \; & \; & \hphantom{5 x^4} \; \hphantom{+} \; x^3 \hphantom{+} \; – \; x^2 \; – \; 2 x \; – \; \hphantom{.}4 \nonumber\end{eqnarray}$$

La resta de dos polinomios se calcula exactamente igual que la suma, salvo que en este caso sumando el opuesto del segundo polinomio al primero. 

Ejemplo

Calculemos la resta de los polinomios del ejemplo anterior $P(x) = $ $ – 2 x^2 – 5$ y $Q(x) = $ $ x^3 + x^2 – 2 x + 1$.

$P(x) – Q(x) = $ $ (- 2 x^2 – 5) – (x^3 + x^2 – 2 x + 1) = $ $ -x^3 + (- 2 x^2 – x^2) + 2 x +(- 5 – 1) = $ $ -x^3 – 3 x^2 + 2 x – 6$

Al igual que la suma, tambi茅n podemos calcular la resta en vertical:

$$\begin{eqnarray}  \; & \; & \hphantom{5 x^4} \; \; \; \; \; \hphantom{x^3} \; \; – \; \; 2 x^2 \; \hphantom{-7 x} \; \; \; – \; 5 \nonumber \\ – & \; &  \nonumber \\  \; & \; & \; \; \; \; \; \underline{\hphantom{5 x^4} x^3 \; \hphantom{2} + \; x^2 \; – \; 2 x \; \hphantom{.} + \;  1} \nonumber \\  \; & \; & \hphantom{5 x^4} \; – \; x^3 \hphantom{+} \; – \; 3 x^2 \; + \; 2 x \; – \; \hphantom{.}6 \nonumber\end{eqnarray}$$

El producto de un monomio por un polinomio es otro polinomio que se obtiene sumando el resultado de multiplicar el monomio por cada uno de los t茅rminos del polinomio.

Ejemplo 

Al igual que con las sumas y restas, tambi茅n podemos expresar la operaci贸n en horizontal y en vertical.

$(-2 x^4 + x^2 + 5) \cdot 3 x^3 = $ $ (-2 x^4) \cdot 3 x^3 + $ $ x^2 \cdot 3 x^3 + $ $ 5 \cdot 3 x^3 = $ $ (- 2) \cdot 3 \cdot x^4 \cdot x^3 + $ $ 3 \cdot x^2 \cdot x^3 + $ $ 5 \cdot 3 x^3 = $ $ -6  x^{4 + 3} + $ $ 3 x^{2 + 3} + $ $ 15 x^3 = $ $ – 6 x^7 + $ $ 3 x^5 + $ $ 15 x^3$ 

$$\begin{eqnarray}  \; & \; & \hphantom{55} – 2 x^4 \; + \; x^2 \; + \; 5 \nonumber \\  \; & \; & \underline{ \hphantom{5555 x^443224343} \times 3 x^3} \nonumber \\  \; & \; & -6 x^7 \; + \; 3 x^5\; + \; 15 x^3 \nonumber\end{eqnarray}$$

El producto de dos polinomios es otro polinomio que se obtiene multiplicando cada uno de los t茅rminos del primer monomio por todos los t茅rminos del segundo polinomio. Tras todas estas multiplicaciones, sumamos entre s铆 los t茅rminos semejantes.

Ejemplo 

En este caso tambi茅n es posible operar en vertical y horizontal.

$$\begin{eqnarray}  \; & \; & \hphantom{-5 x^34.5} 2 x^4 \; – \; 5 x^3 \; \hphantom{- \; 4 x^2 \;} + \; 2 \nonumber \\  \; & \; & \hphantom{-5 x^34.5} \underline{\hphantom{5 x^34. – \; 4 x^2 \;} \times 3 x \; – \; 1} \nonumber \\ \; & \; & \hphantom{5 x^345} – 2 x^4 \; + \; 5 x^3 \; \hphantom{- 4 12x} – \; 2 \nonumber \\ \; & & \underline{ 6 x^5 \; – \; 15 x^4 \hphantom{- 4 x2242} \; + \; 6 x  \hphantom{- 4 x22} } \nonumber \\  \; & + &  6 x^5 \; – \; 17 x^4 \; + \; 5 x^3 \; + \; 6 x  \; – \; 2 \nonumber \\ \end{eqnarray}$$

Para dividir dos polinomios, utilizaremos la divisi贸n 芦de caja禄 siguiendo los siguientes pasos hasta que el resto tenga menor grado que el divisor:

Ejemplo

\begin{array}{ll} \hphantom{-} 12 x^3 + 5 x^2 – 2 x – 5 & | \underline{ \hphantom{4444} 3 x – 2} \\ \underline{ – 12 x^3 + 8 x ^2 \hphantom{+ 5 x – 1}} & 4 x^2 + \frac{13}{3} x + \frac{20}{9} \\ \hphantom{7775557} 13 x^2 – 2 x – 5 \\ \hphantom{7777-} \underline{- 13 x^2 + \frac{26}{3} x \hphantom{- 1} } \\ \hphantom{7777- 3 x^2 + } \frac{20}{3} x – 5 \\ \hphantom{7777- 3 x^2 } \underline { – \frac{20}{3} x + \frac{40}{9} } \\  \hphantom{7777- 3 x^2 +  – 1  } – \frac{5}{9}   \end{array}

Calcula el resultado de las siguientes operaciones con polinomios:

(a) $(2 x^2 +5) + (3 x – 7)$

(b) $(7 x^3 – 5 x^2 + 16) – (3 x^3 – 2 x^2 – 9 x)$

Operamos como explicamos en el apartado de teor铆a:

(a) $(2 x^2 +5) + (3 x – 7) =$$ 2 x^2 + 3 x + 5 – 7 =$$ 2 x^2 + 3 x – 2$

(b) $(7 x^3 – 5 x^2 + 16) – (3 x^3 – 2 x^2 – 9 x) =$$ 7 x^3 – 3 x^3 – 5 x^2 – (-2 x^2) – (-9 x) + 16 =$$ 4 x^3 – 3 x^2 + 9 x + 16$

Calcula el resultado del siguiente producto $(3 x^4 – 2 x^2 +14) \cdot (-5)$.

Para resolver el producto de un polinomio por un n煤mero, multiplicamos cada monomio por el n煤mero:

$(3 x^4 – 2 x^2 +14) \cdot (-5) $ $ = (-5) \cdot 3 x^4 – (-5) \cdot 2 x^2 + (-5) \cdot 14 $ $ = -15 x^4 + 10 x^2 – 70$

Efect煤a las siguientes operaciones con polinomios:

(a) $(2 x^2 – 10 x + 5) \cdot 3$

(b) $(-2 x + 1) \cdot (-7)$

(a) $(2 x^2 – 10 x + 5) \cdot 3 =$$ 3 \cdot 2 x^2 – 3 \cdot 10 x + 3 \cdot 5 =$$ 6 x^2 – 30 x + 15$

(b) $(-2 x + 1) \cdot (-7) =$$ (-7) \cdot (-2 x) + (-7) \cdot 1 = 14 x – 7$

Calcula el resultado de las siguientes operaciones con polinomios:

(a) $2 x ^2 + 4 x + 5 – 3 x$

(b) $2 x^2 y – x ^2 + 3 x ^2 + 1$

Operamos sumando y restando los monomios semejantes y dejando indicadas el resto de sumas y restas.

(a) $2 x ^2 + 4 x + 5 – 3 x = 2 x^2 + x + 5$

(b) $2 x^2 y – x ^2 + 3 x ^2 + 1 = 2 x^2 y + 2 x^2 + 1$

Calcula el resultado de las siguientes operaciones con polinomios:

(a) $(x^3 – 5 x^2 + 7) + (3 x^2 + 3 x – 1)$

(b) $(x^2 + 5 x) – (2 x + 3)$

(c) $(7 x^4 + 5 x^3 – 2 x) \cdot 6 x^2$

(d) $(6 x^2 – 2 x) \cdot (7 x + 5)$

(a) $$\begin{eqnarray} \; & \; & x^3 – 5 x^2 \hphantom{+3x} + 7 \nonumber \\ + & \; &  \nonumber \\ \; & \; & \underline{\hphantom{x^3-} 3 x^2 + 3 x – 1} \nonumber \\ \; & \; & x^3 – 2 x^2 + 3 x + 6  \nonumber\end{eqnarray}$$

(b) $$\begin{eqnarray} \; & \; & x^2 + 5 x \hphantom{+ 3} \nonumber \\ – & \; &  \nonumber \\ \; & \; & \underline{\hphantom{x^2 +} 2 x + 3} \nonumber \\ \; & \; & x^2 + 3 x – 3 \nonumber\end{eqnarray}$$

(c) $(7 x^4 + 5 x^3 – 2 x) \cdot 6 x^2 $ $ = 42 x^6 + 30 x^5 – 12 x^3$

(d) $$\begin{eqnarray} \; & \; & \hphantom{42x^3+} 6 x^2 – 2 x \hphantom{+5} \nonumber \\ \times & \; &  \nonumber \\ \; & \; & \underline{\hphantom{42x^3 + 6x^2 -} 7 x + 5} \nonumber \\ \; & \; & \hphantom{42x^3 +} 30 x^2 – 10 x \hphantom{+ 5} \nonumber \\ \; & \; & \underline{42 x^3 – 14 x^2 \hphantom{-10 x + 5}} \nonumber \\ \; & \; & 42 x^3 + 16 x^2 -10 x \hphantom{+ 5} \nonumber \end{eqnarray}$$

Calcula el resultado de las siguientes operaciones con polinomios:

(a) $2 x^2 (4 x^3 + 5 x – 2)$

(b) $-7 x (3 x^2 + 5)$

Haciendo uso de la propiedad distributiva, multiplicamos el monomio por cada uno de los t茅rminos de los polinomios:

(a) $2 x^2 (4 x^3 + 5 x – 2) = $ $ 8 x^5 + 10 x^3 – 4 x^2$

(b) $- 21 x^3 – 35 x$

Calcula el polinomio resultante de las siguientes operaciones con polinomios.

(a) $(5 x^4 – 2 x^2 + 4 x + 3) + (3 x^3 + 4 x^2 – 1)$

(b) $(3 x^2 + 2 x – 6) – (5 x^2 – 2)$

Sumamos o restamos entre s铆 los monomios semejantes, y finalmente simplificamos entre s铆 los monomios semejantes del polinomio resultante.

(a) $$\begin{eqnarray} \; & \; & 5 x^4 \hphantom{+3×3} – 2 x^2 + 4 x + 3 \nonumber \\ + & \; &  \nonumber \\ \; & \; & \underline{\hphantom{x,-3} 3 x^3 + 4 x^2 \hphantom{+3xx} – 1} \nonumber \\ \; & \; & 5 x^4 + 3 x^3 + 2 x^2 + 4 x + 2  \nonumber\end{eqnarray}$$ 

(b) $$\begin{eqnarray} \; & \; & \hphantom{+} 3 x^2 + 2 x – 6 \nonumber \\ – & \; &  \nonumber \\ \; & \; & \hphantom{+} \underline{5 x^2 \hphantom{+3xx} – 2} \nonumber \\ \; & \; & – 2 x^2 + 2 x – 4  \nonumber\end{eqnarray}$$ 

Calcula y expresa simplificando entre s铆 los t茅rminos semejantes el resultado del siguiente producto de polinomios.

$$(7 x^5 – 2 x^3 – x^2 + 1) \times (3 x^2 – 5)$$ 

Multiplicamos entre s铆 los polinomios  tal y como hemos explicado en el apartado de teor铆a. 

$$\begin{eqnarray} \; & \; & \hphantom{-5 x^34.5} 7 x^5 \hphantom{\; – \; 2 x^3} \; – \; 2 x^3 \; – \; x^2 \hphantom{\; – \; 2 x^3} \; + \; 1 \nonumber \\  \; & \; & \hphantom{-5 x^34.50000} \underline{\hphantom{5 x^34. – \; 4 x^2 \;} \times 3 x^2 \hphantom{\; – \; 2 x^3} \; – \; 5} \nonumber \\ \; & \; & \hphantom{-5 x^3} – 35 x^5 \hphantom{\; – \; 22} \; + \; 10 x^3 \; + \; 5 x^2 \hphantom{\; – \; 2 } \; – \; 5 \nonumber \\ \; & & \underline{ 21 x^7 \; – \; 6 x^5 \; – \; 3 x^4 \hphantom{- 4 x224} \; + \; 3 x^2  \hphantom{- 4 x22} } \nonumber \\  \; &  &  21 x^7 \; – \; 41 x^5 \; – \; 3 x^4 \; + \; 10 x^3  \; + \; 8 x^2 \; + \; 5 \nonumber \\ \end{eqnarray}$$

Halla el cociente y el resto de la siguiente divisi贸n de polinomios $(x^4 – 3 x^2 + 4 x – 2)$ $:$ $(x^2 – 3 x + 1)$. 

Resolvemos el ejercicio calculando el cociente 芦con caja禄.

\begin{array}{ll} \hphantom{-} x^4 \hphantom{+ 5 x^3} – 3 x^2 + 4 x – 2 & | \underline{ \hphantom{4444} x^2 – 3 x + 1} \\ \underline{ – x^4 + 3 x^3 – x^2 \hphantom{+ 5 x – 1}} & \hphantom{1} x^2 + 3 x + 5 \\ \hphantom{7777 +}  3 x^3 – 4 x^2 + 4 x – 2 \\ \hphantom{7777} \underline{ – 3 x^3 + 9 x^2 – 3 x \hphantom{777} } \\ \hphantom{7777- 3 x^2 + } 5 x^2 + x – 2 \\ \hphantom{7777- 3 x^2 } \underline { – 5 x^2 + 15 x – 5 } \\  \hphantom{7777- 3 x^2 +  —  } 16 x – 7 \end{array} 

Calcula el resultado de la siguiente divisi贸n de polinomios.

$(2 x^3 + 4 x^2 + 7 x + 3) : (2 x^2 + x + 3)$

Seguimos los pasos para hallar el cociente y el resto de una divisi贸n de polinomios. 

\begin{array}{ll} \hphantom{-} 2 x^3 + 4 x^2 + 7 x + 3 & | \underline{2 x^2 + x + 3} \\ \underline{ – 2 x^3 – x ^2  – 3 x \hphantom{- 1}} & x + \frac{3}{2} x \\ \hphantom{7775557} 3 x^2 + 4 x + 3 \\ \hphantom{7777-} \underline{- 3 x^2 – \frac{3}{2} x – \frac{9}{2} } \\ \hphantom{7777- 3 x^2 + } \frac{5}{2} x – \frac{3}{2} \end{array}

Calcula el resultado de las siguientes operaciones con polinomios.

(a) $(12 x^4 – 2 x^3 + 4 x^2) + (2 x^3 + 5 x)$

(b) $(3 x^4 + 5 x^2 – 1) – (2 x^2 – 2)$

Sumamos o restamos entre s铆 los monomios semejantes, y simplificamos los monomios semejantes del polinomio resultante.

(a) $$\begin{eqnarray} \; & \; & 12 x^4 – 2 x^3 + 4 x^2  \hphantom{+ 3 x} \hphantom{+ 3} \nonumber \\ + & \; &  \nonumber \\ \; & \; & \underline{\hphantom{12 x^4 + } 2 x^3 \hphantom{+ 4 x^2} + 5 x \hphantom{+ 3}} \nonumber \\ \; & \; & 12 x^4 \hphantom{+ 3 x^3} + 4 x^2 + 5 x \hphantom{+ 2}  \nonumber\end{eqnarray}$$ 

(b) $$\begin{eqnarray} \; & \; & \hphantom{+} 3 x^4 \hphantom{+ 2 x^3} + 5 x^2 \hphantom{+ 2 x} – 1 \nonumber \\ – & \; &  \nonumber \\ \; & \; & \hphantom{+} \underline{\hphantom{3 x^4 + 2 x^3 +} 2 x^2 \hphantom{+3x} – 2} \nonumber \\ \; & \; & \hphantom{+} 3 x^4 \hphantom{+ 2 x^3} + 3 x^2 \hphantom{+ 2 x} + 1  \nonumber\end{eqnarray}$$ 

Calcula el resultado de la siguiente multiplicaci贸n de polinomios.

$(x^4 – x^3 – 5 x + 3) \times (4 x^2 – 3)$ 

Multiplicamos entre s铆 los polinomios como hemos estudiado en el apartado de teor铆a. 

$$\begin{eqnarray} \; & \; & \hphantom{2222-5 x^34.5} \hphantom{\; – \; 5 x^34.5} \hphantom{\; – \; x^2} x^4 \; – \; x^3 \; – \; 5 x \; + \; 3 \nonumber \\  \; & \; & \hphantom{-5 x^34.50000} \underline{\hphantom{222225 x^34. – \; 4 x^2 \;} \hphantom{\; – \; 2 x^3} \times 4 x^2 \; – \; 3} \nonumber \\ \; & \; & \hphantom{2222-5 x^34.5} \hphantom{\; – \; 5 x} -3 x^4 \; + \; 3 x^3 \hphantom{\; – \; 2} \; + \; 15 x \; – \; 9 \nonumber \\ \; & & \underline{ 4 x^6 \; – \; 4 x^5 \hphantom{\; – \; 5 x} \hphantom{\; – \; x^4} \; – \; 20 x^3 \; + \; 12 x^2  \hphantom{- 4 x22111} } \nonumber \\  \; &  &  4 x^6 \; – \; 4 x^5 \; – \; 3 x^4 \; – \; 17 x^3  \; + \; 12 x^2 \; + \; 15 x \; – \; 9 \nonumber \\ \end{eqnarray}$$