在(\triangle \text{ABC})中，(\text{AD, BE, CF})分别是(\text{BC, AC, AB})边上的中线，且三线交于点(\text{G})。设(S_{\triangle\text{ABC}}=S)，求(\text{AD, BE, CF})三边围成的三角形面积，用(\text{S})表示。

来吧，上面这张照片！(这三条蓝边)：

Come on, the picture above! (these three blue edges):

这个问题有很多解决方案，以下是一个相对简单的解决方案：

There are many solutions to this problem, here is a relatively simple solution:

首先，由三角形重心的性质中”重心到顶点的距离是重心到对边中点的距离的2倍”，可得(\text{FG}=\frac12\text{CG})。

由于这三个边不能简单地形成一个三角形，因此考虑翻译。

Since these three sides cannot simply form a triangle, translation is considered.

在此之前，由于三条线段太长，先考虑能否放缩。这里当然可以，因为由上述性质，(\frac{\text{AG}}{\text{AD}}=\frac{\text{BG}}{\text{BE}}=\frac{\text{CG}}{\text{CF}}=\frac23)，可以用海伦公式或者三角形的相似证明(\text{AG, BG, CG})组成的三角形的面积是(\text{AD, BE, CF})组成的三角形的((\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9})。

由于(\text{F})点是中点，考虑进行中线加倍。而且恰巧，如果对(\text{GF})延长（加倍）至(\text{H})可以使(\text{CG})转移至(\text{GH})。

如图：

这样一来，我们就构造了一个和原来三条边具有强关联性的(\triangle\text{AGH})。

接下来就比较简单了：

由于(\text F)是(\text{HG})的中点，得(S_{\triangle\text{AGH}}=2S_{\triangle\text{AGF}})。

再由(\text{D, E, F})三个中点以及(\text G)重心的性质，易推出(S_{\triangle\text{AGF}}=\frac16 S_{\triangle\text{ABC}}=\frac16 S)。

因此，(S_{\triangle\text{AGH}}=\frac13 S)。

接下来，由于

(\text{AG, BG, CG})组成的三角形的面积是(\text{AD, BE, CF})组成的三角形的((\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9})。

这一条结论，以及(\text{AG, BG, CG})组成的三角形其实就是(\triangle\text{AGH})，我们可以得出题目的答案为(\frac13 S\div\frac49=\frac34 S)。

因此，有结论：三角形的三条中线所围成的三角形的面积，等于原三角形的(\frac34) 。

Original: https://www.cnblogs.com/cup11/p/16635359.htmlAuthor: cup11Title: [数学] 三角形三条中线围成的面积

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