​ 设随机变量 X 1 , X 2 , ⋯   , X n X_1,X_2,\cdots,X_n X1​,X2​,⋯,Xn​相互独立且均服从标准正态分布 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1),则称随机变量 χ 2 = X 1 2 + X 2 2 + ⋯ + X n 2 \chi^2=X_1^2+X_2^2+\cdots+X_n^2 χ2=X12​+X22​+⋯+Xn2​ 所服从的分布是自由度为 n n n的 χ 2 \chi^2 χ2分布，记为 χ 2 ∼ χ 2 ( n ) \chi^2\sim \chi^2(n) χ2∼χ2(n)

χ 2 \chi^2 χ2分布的可加性:设 χ 1 2 ∼ χ 2 ( n 1 ) \chi_1^2\sim \chi^2(n_1) χ12​∼χ2(n1​)， χ 2 2 ∼ χ 2 ( n 2 ) \chi_2^2\sim \chi^2(n_2) χ22​∼χ2(n2​)，且 χ 1 2 \chi_1^2 χ12​与 χ 2 2 \chi_2^2 χ22​独立，则 χ 1 2 + χ 2 2 ∼ χ 2 ( n 1 + n 2 ) \chi_1^2+\chi_2^2\sim \chi^2(n_1+n_2) χ12​+χ22​∼χ2(n1​+n2​).

​ 设 X ∼ N ( 0 , 1 ) X \sim N(0,1) X∼N(0,1)， Y ∼ χ 2 ( n ) Y \sim \chi^2(n) Y∼χ2(n)，并且 X X X与 Y Y Y独立，则称随机变量 t = X Y / n t=\frac{X}{\sqrt{Y/n}} t=Y/n ​X​ 所服从的分布是自由度为 n n n的 t t t分布，记为 t ∼ t ( n ) t \sim t(n) t∼t(n).

当 n n n充分大时，自由度为 n n n的 t t t分布可近似地看成标准正态分布。当n>30时， t t t分布和标准正态分布就已经非常接近了，但对较小的 n n n, t t t分布与标准正态分布之间有较大的差异，且 t t t分布的尾部比标准正态分布的尾部有着更大的概率，即如果 T ∼ t ( n ) T\sim t(n) T∼t(n)， X ∼ N ( 0 , 1 ) X \sim N(0,1) X∼N(0,1)，则对于充分大的正数 t 0 t_0 t0​，有 KaTeX parse error: Undefined control sequence: \notag at position 102: …nt t_0\right\} \̲n̲o̲t̲a̲g̲ ̲ ​ 在描述不是十分罕见的极端事件所服从的统计规律性时， t t t分布是一个比正态分布更加符合实际的概率分布。

​ 设 X ∼ χ 2 ( n 1 ) X \sim \chi^2(n_1) X∼χ2(n1​)， Y ∼ χ 2 ( n 2 ) Y \sim \chi^2(n_2) Y∼χ2(n2​)，且 X X X与 Y Y Y独立，则称随机变量 F = X / n 1 Y / n 2 F=\frac{X/n_1}{Y/n_2} F=Y/n2​X/n1​​ 所服从的分布是自由度为 ( n 1 , n 2 ) (n_1,n_2) (n1​,n2​)的 F F F分布，记为 F ∼ F ( n 1 , n 2 ) F \sim F(n_1,n_2) F∼F(n1​,n2​)

​ 若 F ∼ F ( n 1 , n 2 ) F \sim F(n_1,n_2) F∼F(n1​,n2​)，则 1 F ∼ F ( n 1 , n 2 ) \frac{1}{F}\sim F(n_1,n_2) F1​∼F(n1​,n2​)

卡方分布概率密度图

t分布概率密度图