激活函数（Activation Function）是一种添加到人工神经网络中的函数，旨在帮助网络学习数据中的复杂模式。在神经元中，输入的input经过一系列加权求和后作用于另一个函数，这个函数就是这里的激活函数。下图为单个感知机模型的结构，其中 f ( ⋅ ) f(·) f(⋅)即为激活函数， y = f ( ∑ w i x i ) y=f(\sum w_ix_i) y=f(∑wi​xi​)。

对于一个多层感知机，给当一个小批量样本 X ∈ R n × d X \in \Bbb R^{n×d} X∈Rn×d，其批量大小为 n n n，输入个数为 d d d。假设多层感知机只有一个隐藏层，其中隐藏单元个数为 h h h。记隐藏层的输出（也成为隐藏层变量或隐藏变量）为 H H H，有 H ∈ R d × h H \in \Bbb R{d×h} H∈Rd×h。因为隐藏层和输出层军事全连接层，可以设隐藏层的权重参数和偏差参数分别为 W h ∈ R d × h W_h \in \Bbb R^{d×h} Wh​∈Rd×h和 b h ∈ R 1 × h b_h \in \Bbb R{1×h} bh​∈R1×h，输出层的权重和偏差参数分别为 W o ∈ R h × q W_o\in \Bbb R{h×q} Wo​∈Rh×q和 b o ∈ R 1 × q b_o \in \Bbb R{1×q} bo​∈R1×q。

不妨设一种含但隐藏层的多层感知机的设计。其输出 O ∈ R n × q O \in \Bbb R{n×q} O∈Rn×q的计算为 H = X W h + b h H = XW_h+b_h H=XWh​+bh​ O = H W o + b o O=HW_o+b_o O=HWo​+bo​

也就是将隐藏层的输出直接作为输入层的输入。如果将以上两个式子连立起来，可以得到 O = ( X W h + b h ) W o + b o = X W h W o + b h W o + b o O=(XW_h+b_h)W_o+b_o=XW_hW_o+b_hW_o+b_o O=(XWh​+bh​)Wo​+bo​=XWh​Wo​+bh​Wo​+bo​

从联立后的狮子可以看出，虽然神经网络引入了隐藏层，却依然等价于一个单层神经网络：其中输出层权重参数为 W h W o W_hW_o Wh​Wo​，偏差参数为 b h W o + b o b_hW_o+b_o bh​Wo​+bo​。不难发现，即便再添加更多的隐藏层，以上设计依然只能与仅含输出层的单层神经网络等价。

该问题的根源在于全连接层只是对数据做仿射变换（affine transformation），而多个仿射变换的叠加仍然是一个仿射变换。解决问题的一个方法是引入非线性变换，例如对隐藏变量使用按元素运算得非线性函数进行变换，然后再作为下一个全连接层的输入。这个非线性函数被称为激活函数（activation function）。

可微性：但优化方法是基于梯度的时候，这个性质是必需的，否则无法进行反向传播。

单调性：当激活函数是单调的时候，单层神经网络能保证是凸函数。

输出值的范围：当激活函数输出值是有限的时候，基于梯度的优化方法会更加稳定，因为特征的表示受有限权值的影响更显著；当激活函数的输出是无限的时候，模型的训练会更加高效，不过这种情况下，一般需要更小的学习率（learning rate）。

从目前来看，常见的激活函数多是分段线性和具有指数形状的非线性函数。

f ( x ) = 1 1 + e − x f(x) = \frac{1}{1+e^{-x}} f(x)=1+e−x1​

sigmoid函数在早期的神经网络中较为普遍，取值范围为(0,1)，它可以将一个实数映射到(0,1)的区间，可以用来做二分类。在特征相差比较复杂或是相差不是特别大时效果比较好。不过它目前逐渐被更简单的ReLU函数取代。

1.Sigmoid 函数的输出范围是 0 到 1。由于输出值限定在 0 到1，因此它对每个神经元的输出进行了归一化；

2.用于将预测概率作为输出的模型。由于概率的取值范围是 0 到 1，因此 Sigmoid 函数非常合适；

3.梯度平滑，避免「跳跃」的输出值；

4.函数是可微的。这意味着可以找到任意两个点的 sigmoid 曲线的斜率；

5.明确的预测，即非常接近 1 或 0。

在讲sigmoid的缺点前，我们先了解一下饱和性的概念：

当我们的n趋近于正无穷，激活函数的导数趋近于0，那么我们称之为右饱和；当我们的n趋近于负无穷，激活函数的导数趋近于0，那么我们称之为左饱和；当一个函数既满足左饱和又满足右饱和的时候我们就称之为饱和。

对于任意的x，如果存在常数c，当x>c时，恒有 f ′ ( x ) = 0 f'(x)=0 f′(x)=0则称其为右硬饱和；如果对于任意的x，如果存在常数c，当x