设某客观现象可用 X {X} X=( X 1 {X_1} X1​， X 2 {X_2} X2​， X 3 {X_3} X3​)’ 来描述，在因子分析时，从约相关阵出发计算特征值为 λ 1 {λ_1} λ1​=1.754， λ 2 {λ_2} λ2​=1， λ 3 {λ_3} λ3​=0.255。由于（ λ 1 {λ_1} λ1​+ λ 2 {λ_2} λ2​）/（ λ 1 {λ_1} λ1​+ λ 2 {λ_2} λ2​+ λ 3 {λ_3} λ3​）> 85%，所以找前两个特征值所对应的公共因子即可，又知 λ 1 {λ_1} λ1​， λ 2 {λ_2} λ2​对应的正则化特征向量分别为（0.707，-0.316，0.632)’ 及(0，0.899，0.447)’ ，要求： （1）计算因子载荷矩阵A，并建立因子模型。 （2）计算共同度 h i 2 {h_i^2} hi2​（i=1，2，3）。 （3）计算第一公因子对X的贡献。

解： （1）根据题意，只需要找前两个特征值对应的公共因子，因此： STEP1A=( u 1 {u_1} u1​， u 2 {u_2} u2​) [ λ 1 0 0 λ 2 ] \begin{bmatrix} \sqrt{{λ_1}} & 0 \\ 0& \sqrt{{λ_2}} \end{bmatrix} [λ1​ ​0​0λ2​ ​​]= [ 0.707 0 − 0.316 0.899 0.632 0.447 ] \begin{bmatrix} 0.707 & 0 \\ -0.316& 0.899 \\ 0.632 &0.447\\ \end{bmatrix} ​0.707−0.3160.632​00.8990.447​ ​ [ 1.754 0 0 1 ] \begin{bmatrix} \sqrt{1.754} & 0 \\ 0& \sqrt{1} \end{bmatrix} [1.754 ​0​01 ​​]= [ 0.936 0 − 0.419 0.899 0.837 0.447 ] \begin{bmatrix} 0.936 & 0 \\ -0.419& 0.899 \\ 0.837 &0.447\\ \end{bmatrix} ​0.936−0.4190.837​00.8990.447​ ​ STEP2由A可以建立因子模型：

X 1 {X_1} X1​=0.936 F 1 {F_1} F1​+ ε 1 {ε_1} ε1​ X 2 {X_2} X2​=-0.419 F 1 {F_1} F1​+0.899 F 2 {F_2} F2​+ ε 2 {ε_2} ε2​ X 3 {X_3} X3​=0.837 F 1 {F_1} F1​+0.447 F 2 {F_2} F2​+ ε 3 {ε_3} ε3​

（2）共同度即对A的行求平方和，则：

h 1 2 {h_1^2} h12​=0.936²+0²=0.876 h 2 2 {h_2^2} h22​=0.419²+0.899²=0.984 h 3 2 {h_3^2} h32​=0.837²+0.447²=0.9

（3）公共因子对X的贡献即对A的列求平方和，由于是从约相关阵计算的特征值，所以 q 1 2 {q_1^2} q12​= λ 1 {λ_1} λ1​=1.754

设某总体可用 3 个指标来描述，在因子分析时，从约相关阵出发计算出特征值为 λ 1 {λ_1} λ1​=1.96， λ 2 {λ_2} λ2​=1， λ 3 {λ_3} λ3​=0.25。又知 λ 1 {λ_1} λ1​， λ 2 {λ_2} λ2​， λ 3 {λ_3} λ3​对应的单位特征向量分别为(0.707，-0.316，0.632) ’, (0，0.899，0.447) ’及(0.929，-0.261，0.261)’，要求： （1）计算因子载荷矩阵A，并建立因子模型。 （2）计算共同度 h i {h_i} hi​²（i=1，2，3）。 （3）计算第一公共因子对总体的贡献。

这题和上一题一样，只不过需要我们自己确定公共因子的个数 解： （1）根据题意，（ λ 1 {λ_1} λ1​+ λ 2 {λ_2} λ2​）/（ λ 1 {λ_1} λ1​+ λ 2 {λ_2} λ2​+ λ 3 {λ_3} λ3​）= 92%，因此我们选择前两个特征值所对应的公共因子即可。

STEP1A=( u 1 {u_1} u1​， u 2 {u_2} u2​) [ λ 1 0 0 λ 2 ] \begin{bmatrix} \sqrt{{λ_1}} & 0 \\ 0& \sqrt{{λ_2}} \end{bmatrix} [λ1​ ​0​0λ2​ ​​]= [ 0.707 0 − 0.316 0.899 0.632 0.447 ] \begin{bmatrix} 0.707 & 0 \\ -0.316& 0.899 \\ 0.632 &0.447\\ \end{bmatrix} ​0.707−0.3160.632​00.8990.447​ ​ [ 1.96 0 0 1 ] \begin{bmatrix} \sqrt{1.96} & 0 \\ 0& \sqrt{1} \end{bmatrix} [1.96 ​0​01 ​​]= [ 0.99 0 − 0.442 0.899 0.885 0.447 ] \begin{bmatrix} 0.99 & 0 \\ -0.442& 0.899 \\ 0.885 &0.447\\ \end{bmatrix} ​0.99−0.4420.885​00.8990.447​ ​

STEP2由此可以建立因子模型：

X 1 {X_1} X1​=0.99 F 1 {F_1} F1​+ ε 1 {ε_1} ε1​ X 2 {X_2} X2​=-0.442 F 1 {F_1} F1​+0.899 F 2 {F_2} F2​+ ε 2 {ε_2} ε2​ X 3 {X_3} X3​=0.885 F 1 {F_1} F1​+0.447 F 2 {F_2} F2​+ ε 3 {ε_3} ε3​

（2）共同度即对A的行求平方和，则：

h 1 2 {h_1^2} h12​=0.9898²+0²=0.98 h 2 2 {h_2^2} h22​=0.442²+0.899²=1.004 h 3 2 {h_3^2} h32​=0.885²+0.447²=0.983

（3）公共因子对X的贡献即对A的列求平方和，由于是从约相关阵计算的特征值，所以 q 1 2 {q_1^2} q12​= λ 1 {λ_1} λ1​=1.96

【应用多元统计分析（高惠璇版）习题8-1】

设标准化变量 X 1 {X_1} X1​， X 2 {X_2} X2​， X 3 {X_3} X3​的协方差阵(即相关阵)为 R = [ 1.00 0.63 0.45 0.63 1.00 0.35 0.45 0.35 1.00 ] R= \left[ \begin{matrix} 1.00 & 0.63 & 0.45 \\ 0.63 & 1.00 & 0.35 \\ 0.45 & 0.35 & 1.00 \end{matrix} \right] R= ​1.000.630.45​0.631.000.35​0.450.351.00​ ​ 试求m=1的正交因子模型。

解： 求正交因子模型，转换为求因子载荷矩阵A，m=1时，只需要求A的第一列 a 1 {a_1} a1​即可。

由主因子法我们知道R=AA'+D

R= [ a 11 a 21 a 31 ] \begin{bmatrix} {a_{11}} \\ {a_{21}} \\ {a_{31}} \end{bmatrix} ​a11​a21​a31​​ ​[ a 11 {a_{11}} a11​， a 21 {a_{21}} a21​， a 31 {a_{31}} a31​] + [ σ 1 2 0 0 0 σ 2 2 0 0 0 σ 3 2 ] \left[\begin{matrix} {σ_1^2} & 0 & 0 \\ 0& {σ_2^2} & 0 \\ 0 & 0 & {σ_3^2} \end{matrix} \right] ​σ12​00​0σ22​0​00σ32​​ ​

所以可得以下方程:

a 11 2 a_{11}^2 a112​+ σ 1 2 {σ_1^2} σ12​ = 1 a 21 2 a_{21}^2 a212​+ σ 2 2 {σ_2^2} σ22​ = 1 a 31 2 a_{31}^2 a312​+ σ 3 2 {σ_3^2} σ32​ = 1 a 11 a_{11} a11​ a 21 a_{21} a21​=0.63 a 11 a_{11} a11​ a 31 a_{31} a31​=0.45 a 31 a_{31} a31​ a 21 a_{21} a21​=0.35

由此可解得： a 11 a_{11} a11​=0.9， a 21 a_{21} a21​=0.7， a 31 a_{31} a31​=0.5

σ 1 2 {σ_1^2} σ12​=1 - a 11 2 a_{11}^2 a112​=1-0.81=0.19 σ 2 2 {σ_2^2} σ22​=1 - a 21 2 a_{21}^2 a212​=1-0.49=0.51 σ 3 2 {σ_3^2} σ32​=1 - a 31 2 a_{31}^2 a312​=1-0.25=0.75

所以，m=1时，A= [ 0.9 0.7 0.5 ] \begin{bmatrix} 0.9 \\ 0.7 \\ 0.5 \end{bmatrix} ​0.90.70.5​ ​

正交因子模型为：

X 1 {X_1} X1​=0.9 F 1 {F_1} F1​+ ε 1 {ε_1} ε1​ X 2 {X_2} X2​=0.7 F 1 {F_1} F1​+ ε 2 {ε_2} ε2​ X 3 {X_3} X3​=0.5 F 1 {F_1} F1​+ ε 3 {ε_3} ε3​

特殊因子ε的协方差阵D为

D = [ 0.19 0 0 0 0.51 0 0 0 0.75 ] D=\left[ \begin{matrix} 0.19 & 0 & 0 \\ 0 & 0.51 & 0 \\ 0 & 0& 0.75 \end{matrix} \right] D= ​0.1900​00.510​000.75​ ​

【应用多元统计分析（高惠璇版）习题8-2】 已知题8-1中R的特征值和特征向量分别为 （1）取公共因子个数m=1时，求因子模型的主成分解，并计算误差平方和Q(1)； （2）取公共因子个数m=2时，求因子模型的主成分解，并计算误差平方和Q(2)； （3）试求误差平方和Q(m){λ_1}} {λ_1}} & 0 \\ 0& \sqrt{{λ_2}} \end{bmatrix}