原理：统计的 3 σ 3\sigma 3σ原理

假定一列样本 X i , i = 1 , 2 , ⋯ X_i,i=1,2,\cdots Xi​,i=1,2,⋯ 来自一生产过程，它们独立服从一正态分布 N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^2) N(μ,σ2)。则上下控制线分别取为 μ + u 1 − α / 2 σ n \mu+u_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n} μ+u1−α/2​n ​σ​ 和 μ − u 1 − α / 2 σ n \mu-u_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n} μ−u1−α/2​n ​σ​

控制线：当检测统计量落在控制线以外的区域时，控制图给出过程失控的警报。

当 μ \mu μ和 σ \sigma σ都未知时，需要在保证过程受控时抽取样本对它们进行估计。假设有 m m m个样本容量为 n n n的样本。于是 μ \mu μ可以用

X ˉ ˉ = X ˉ 1 + ⋯ + X ˉ m m \bar{\bar{X}}=\frac{\bar{X}_1+\cdots+\bar{X}_m}{m} Xˉˉ=mXˉ1​+⋯+Xˉm​​

来估计。假设 R 1 , ⋯   , R m R_1,\cdots,R_m R1​,⋯,Rm​是 m m m组样本的极差， R ˉ \bar{R} Rˉ是这些极差的平均值。对 S h e w h a r t Shewhart Shewhart控制图，检测均值是否漂移的上下控制线分别为

X ˉ ˉ ± c 1 R ˉ \bar{\bar X}\pm c_1\bar R Xˉˉ±c1​Rˉ

检测方差是否漂移的上下控制线分别为

c 2 R ˉ c_2\bar R c2​Rˉ 和 c 3 R ˉ c_3\bar R c3​Rˉ

其中 c 1 , c 2 c_1,c_2 c1​,c2​和 c 3 c_3 c3​为使得过程受控时控制图的平均运行长度为事先设定的值所取的常数。

A R L ARL ARL，即控制图从检测开始到它发出生产出现问题的警报为止的抽取的平均样本组数。根据这个定义，容易看出，当过程受控时，希望 A R L ARL ARL尽可能大，这样控制图的误报率就会尽可能小；当过程失控时，希望 A R L ARL ARL尽可能小，这样控制图的检测效率就会提高。在文献研究和实际应用中，我们一般固定过程受控时的 A R L ARL ARL，记为 A R L 0 ARL_0 ARL0​，然后比较不同控制图在过程失控时的 A R L ARL ARL，记为 A R L 1 ARL_1 ARL1​。过程失控时， A R L 1 ARL_1 ARL1​越小，表明这个控制图在检测这个漂移时越有效。

还可以用方差的另一估计样本标准差 S n S_n Sn​来构造 S h e w h a r t X ˉ Shewhart \bar X ShewhartXˉ和 S S S控制图。

实际中由于一些原因，如生产线、成本等原因，我们得到的样本容量为1，即individual sample size的情况。假设 m m m个样本容量为 1 1 1的受控样本 X i , i = 1 , 2 , ⋯   , m X_i,i=1,2,\cdots,m Xi​,i=1,2,⋯,m独立服从一正态分布 N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^2) N(μ,σ2)。记 M R i = ∣ X i − X i − 1 ∣ MR_i=|X_i-X_{i-1}| MRi​=∣Xi​−Xi−1​∣， M R ˉ = M R 2 + ⋯ + M R m m − 1 \bar{MR}=\frac{MR_2+\cdots+MR_m}{m-1} MRˉ=m−1MR2​+⋯+MRm​​。这样 S h e w h a r t X ˉ Shewhart \bar X ShewhartXˉ控制图的上下控制线为 X ˉ ˉ + 3 M R ˉ d 2 \bar{\bar X}+3\frac{\bar{MR}}{d_2} Xˉˉ+3d2​MRˉ​ 和 X ˉ ˉ − 3 M R ˉ d 2 \bar{\bar X}-3\frac{\bar{MR}}{d_2} Xˉˉ−3d2​MRˉ​

附加运行准则：如果过去 m m m个检测统计量中有 k ( k ≤ m ) k(k\le m) k(k≤m)个落在了区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)中，控制图发出过程失控的警报，记为 T ( k , m , a , b ) T(k,m,a,b) T(k,m,a,b)。

运行准则1： C 1 = { T ( 1 , 1 , − ∞ , − 3 ) , T ( 1 , 1 , 3 , ∞ ) } C_1=\{T(1,1,-\infty,-3),T(1,1,3,\infty)\} C1​={T(1,1,−∞,−3),T(1,1,3,∞)} 运行准则2： C 1 = { T ( 2 , 3 , − 3 , − 2 ) , T ( 2 , 3 , 2 , 3 ) } C_1=\{T(2,3,-3,-2),T(2,3,2,3)\} C1​={T(2,3,−3,−2),T(2,3,2,3)} 运行准则3： C 1 = { T ( 4 , 5 , − 3 , − 1 ) , T ( 4 , 5 , 1 , 3 ) } C_1=\{T(4,5,-3,-1),T(4,5,1,3)\} C1​={T(4,5,−3,−1),T(4,5,1,3)} 运行准则4： C 1 = { T ( 8 , 8 , − 3 , 0 ) , T ( 8 , 8 , 0 , 3 ) } C_1=\{T(8,8,-3,0),T(8,8,0,3)\} C1​={T(8,8,−3,0),T(8,8,0,3)} …

根据这些附加运行准则，可以构造一个更一般的控制图，即 C i j ⋯ k = C i ∪ C j ∪ ⋯ ∪ C k . C_{ij\cdots k}=C_i\cup C_j\cup\cdots\cup C_k. Cij⋯k​=Ci​∪Cj​∪⋯∪Ck​.

模拟结果表明，带有附加运行准则的 S h e w h a r t Shewhart Shewhart控制图提高了 S h e w h a r t Shewhart Shewhart控制图检测中小漂移的能力。

①抽样方式一

假定一列样本 X i , i = 1 , 2 , ⋯ X_i,i=1,2,\cdots Xi​,i=1,2,⋯ 来自一生产过程，它们独立服从一正态分布 N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^2) N(μ,σ2)。

样本均值： X ˉ t = 1 t ∑ i = 1 t X i \bar{X}_t=\frac{1}{t}\sum\limits_{i=1}^t X_i Xˉt​=t1​i=1∑t​Xi​

样本标准差： S t 2 = 1 t − 1 ∑ i = 1 t ( X i − X ˉ t ) 2 S_t^2=\frac{1}{t-1}\sum\limits_{i=1}^t(X_i-\bar{X}_t)^2 St2​=t−11​i=1∑t​(Xi​−Xˉt​)2

②抽样方式二

在时刻 i ( i = 1 , 2 , ⋯   , t ) i(i=1,2,\cdots,t) i(i=1,2,⋯,t)得到的样本为 X i 1 , X i 2 , ⋯   , X i n i X_{i1},X_{i2},\cdots,X_{in_i} Xi1​,Xi2​,⋯,Xini​​，样本均值为 X ˉ i \bar{X}_i Xˉi​，样本方差为 S i 2 S_i^2 Si2​。于是，到时刻 t t t，得到所有样本的

样本均值为 X ˉ t ˉ = n 1 X ˉ 1 + n 2 X ˉ 2 + ⋯ + n t X ˉ t n 1 + n 2 + ⋯ + n t \bar {\bar{X}_t}=\frac{n_1\bar{X}_1+n_2\bar{X}_2+\cdots+n_t\bar{X}_t}{n_1+n_2+\cdots+n_t} Xˉt​ˉ​=n1​+n2​+⋯+nt​n1​Xˉ1​+n2​Xˉ2​+⋯+nt​Xˉt​​

样本方差为 S p , t 2 = ( n 1 − 1 ) S 1 2 + ( n 2 − 1 ) S 2 2 + ⋯ + ( n t − 1 ) S t 2 n 1 + n 2 + ⋯ + n t − t S_{p,t}^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2+\cdots+(n_t-1)S_t^2}{n_1+n_2+\cdots+n_t-t} Sp,t2​=n1​+n2​+⋯+nt​−t(n1​−1)S12​+(n2​−1)S22​+⋯+(nt​−1)St2​​

Q Q Q统计量有检测过程均值的 Q Q Q统计量，还有检测过程方差的 Q Q Q统计量，全部服从标准正态分布。于是控制图的上下控制线可以取为 L C L = u α 1 LCL=u_{\alpha1} LCL=uα1​, U C L = u 1 − α 2 UCL=u_{1-\alpha_2} UCL=u1−α2​​