まず正弦波の基本的な特徴について理解しましょう。

ここを理解すると, 自分で正弦波の表式を作ったり自分が欲しい形に変形したりすることができるようになります。

ある時刻 t′t't′ に位置 OOO (x=0)(x=0)(x=0) の「波源」から波

yo(t′)=asin⁡(ωt′+α) y_o(t') = a \sin(\omega t' + \alpha) yo​(t′)=asin(ωt′+α)

が出たという状況を考えましょう。

この時刻 t′t't′ に波源を出た波が, 時刻 ttt に位置 xxx にいる「観測者」に届くとします。

観測者が観測する波の式は以下のようになります。

y(x,t)=r⋅yo(t′)=rasin⁡(ωt′+α)=Asin⁡(ωt′+α) \begin{aligned} y(x, t) &= r \cdot y_o(t') \\ &= ra \sin(\omega t' + \alpha) \\ &= A \sin(\omega t' + \alpha) \end{aligned} y(x,t)​=r⋅yo​(t′)=rasin(ωt′+α)=Asin(ωt′+α)​

変形の途中で A=raA = raA=ra と置きました。rrr の意味については後述します。

また時刻 t′t't′ と ttt の間には以下の関係式が成り立ちます。

t=t′+x−0c t = t' + \dfrac{x-0}{c} t=t′+cx−0​

以上の2つの式から t′t't′ を消去すると, 次の式が与えられます。

y(x,t)=Asin⁡{ω(t−xc)+α} y(x, t) = A \sin \{\omega \left(t - \dfrac{x}{c} \right) + \alpha \} y(x,t)=Asin{ω(t−cx​)+α}

これが正弦波の一般的な表式です。

式の中に含まれる物理量をまとめます。

※式の途中に現れた rrr は振幅の減衰率を表します。rrr は r≦1r\leqq 1r≦1 を満たす値で, 波が伝わる過程でどれくらい振幅がすり減るかを表す値です。特に断りがない場合には r=1r=1r=1 であると考えます。

式に登場する物理量が多いので覚えて理解するのに時間がかかるかもしれません。

「自分の知っている正弦波の式ではない」と驚かないでください。正弦波の式には様々は表し方があるのです。この記事を読み終わるころには正弦波の様々な表現方法について理解できるようになっていますよ。

正弦波の表式をもう一度みてみましょう。

y(x,t)=Asin⁡{ω(t−xc)+α} y(x, t) = A \sin \{\omega \left(t - \dfrac{x}{c} \right) + \alpha \} y(x,t)=Asin{ω(t−cx​)+α}

この表式で sin⁡()\sin()sin() の中の部分を 波の位相と呼びます。

θ(x,t)=ω(t−xc)+α \theta (x, t) = \omega \left(t - \dfrac{x}{c} \right) + \alpha θ(x,t)=ω(t−cx​)+α

特に x=0x=0x=0, t=0t=0t=0 での波の位相を初期位相と呼びます。

θ(0,0)=α \theta(0,0) = \alpha θ(0,0)=α

位相 θ(x,t)\theta (x, t)θ(x,t) を用いると, 波の式は以下のように与えられます。

y(x,t)=Asin⁡θ(x,t) y(x, t) = A \sin \theta(x, t) y(x,t)=Asinθ(x,t)

位相 θ(x,t)\theta (x, t)θ(x,t) は 時刻 ttt, 位置 xxx での波の波形（山や谷）を表す非常に重要な物理量です。

位相（右辺）を理解することで正弦波（左辺）を理解することができるのです。