连续系统： 是指系统输出时间上连续变化，而不是仅在离散时刻采样取值。对于满足以下条件的系统，我们称之为连续系统：   （1）系统输出连续变化，变化的时间间隔为无穷小量。   （2）存在系统输入或输出的微分项。   （3） 系统具有连续状态。   设连续系统的输入变化量为 u ( t ) u(t) u(t)，其中 t t t为连续取值的时间变量，系统的输出为 y ( t ) y(t) y(t)，连续系统的一般数学描述为： y ( t ) = f ( u ( t ) , t ) y(t)=f(u(t),t) y(t)=f(u(t),t)   微分方程形式为： ∂ x ∂ t = f ( x ( t ) , u ( t ) , t ) \frac{\partial x}{\partial t}=f(x(t),u(t),t) ∂t∂x​=f(x(t),u(t),t) y ( t ) = g ( x ( t ) , u ( t ) , t ) y(t)=g(x(t),u(t),t) y(t)=g(x(t),u(t),t)

   线性连续系统： 对满足以下两个条件的连续系统，我们称为线性连续系统。   (1)、齐次性： 对于连续系统 y ( t ) = T { u ( t ) } , t = 0 , 1 , 2... y(t)=T\lbrace u(t) \rbrace, t=0,1,2... y(t)=T{u(t)},t=0,1,2...，如果对任意的输入 u ( t ) u(t) u(t)与给定的常数 α \alpha α，下面的式子总成立： T { α u ( t ) } = α T { u ( t ) } T\lbrace \alpha u(t) \rbrace = \alpha T\lbrace u(t) \rbrace T{αu(t)}=αT{u(t)} 则称系统满足齐次性。   (2)、叠加性： 对于系统对于输出 u 1 ( t ) u_1(t) u1​(t)和 u 2 ( t ) u_2(t) u2​(t)，输出分别为 y 1 ( t ) y_1(t) y1​(t) 和 y 2 ( t ) y_2(t) y2​(t)，总有下面的式子成立： T { u 1 ( t ) + u 2 ( t ) } = T { u 1 ( t ) } + T { u 2 ( t ) } T\lbrace u_1(t)+u_2(t) \rbrace = T\lbrace u_1(t) \rbrace + T\lbrace u_2(t) \rbrace T{u1​(t)+u2​(t)}=T{u1​(t)}+T{u2​(t)} 则称系统满足叠加性。

   L a p l a c e 变 换 Laplace变换 Laplace变换： 对于连续信号 u ( t ) u(t) u(t)，其 L a p l a c e Laplace Laplace变换定义为 U ( s ) = ∫ − ∞ ∞ u ( t ) e − s t d t U(s)=\displaystyle \int ^\infty_{-\infty} u(t)e^{-st} {\rm d}t U(s)=∫−∞∞​u(t)e−stdt。一般而言，系统的输入时间 t ≥ 0 t \geq 0 t≥0，这时 U ( s ) = ∫ 0 ∞ u ( t ) e − s t d t U(s)=\displaystyle \int ^\infty_0 u(t)e^{-st} {\rm d}t U(s)=∫0∞​u(t)e−stdt。一般简记为 U ( s ) = L ( u ( t ) ) U(s)=L(u(t)) U(s)=L(u(t))。    L a p l a c e 变 换 Laplace变换 Laplace变换具有如下两个重要性质：   (1)、线性关系： L a p l a c e Laplace Laplace变换同时满足齐次性和叠加性，即： U { α u 1 ( t ) + β u 2 ( t ) } = α U { u 1 ( t ) } + β U { u 2 ( t ) } U\lbrace \alpha u_1(t)+\beta u_2(t) \rbrace = \alpha U\lbrace u_1(t) \rbrace + \beta U\lbrace u_2(t) \rbrace U{αu1​(t)+βu2​(t)}=αU{u1​(t)}+βU{u2​(t)}   (2)、设连续信号 u ( t ) u(t) u(t)的 L a p l a c e Laplace Laplace变换为 U ( s ) U(s) U(s)，则 ∂ u ∂ t \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} ∂t∂u​的 L a p l a c e Laplace Laplace变换为 s U ( t ) sU(t) sU(t)。   线性连续系统的另一个模型为状态空间模型： { ∂ u ∂ t = A x ( t ) + B u ( t ) y ( t ) = C x ( t ) + D u ( t ) \begin{cases} \displaystyle \frac {\partial u} {\partial t} = Ax(t)+Bu(t)\\ y(t)=Cx(t)+Du(t)\\ \end{cases} ⎩⎨⎧​∂t∂u​=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t)+Du(t)​

 【例1】蹦极跳是一种挑战身体极限的运动，蹦极者系着一根弹力绳从高处的桥梁（或山崖等）向下跳。在下落的过程中，蹦极者几乎处于失重状态。按照牛顿运动定律，自由下落的物体的位置由下面的式子确定： m ∂ 2 x ∂ t 2 = m g − a 1 ∂ x ∂ t − a 2 ∣ ∂ x ∂ t ∣ ∂ x ∂ t m \frac{\partial^2x}{\partial t^2} = mg-a_1 \frac{\partial x}{\partial t}-a_2 \left| \frac{\partial x}{\partial t} \right|\frac{\partial x}{\partial t} m∂t2∂2x​=mg−a1​∂t∂x​−a2​∣∣∣∣​∂t∂x​∣∣∣∣​∂t∂x​   其中m为物体质量，g为重力加速度，x为物体的位置， a 1 a_1 a1​ 、 a 2 a_2 a2​表示空气阻力的系数。   现选择蹦极者起跳位置为起点（即x=0处），低于起点位置为正，高于起点为负。如果物体系在一个弹性系数为 k k k的弹力绳索上，绳索的原始长度为 x 0 x_0 x0​，则其对下落物体位置的作用力为: b ( x ) = { − k ( x − x 0 ) , x ; x 0 0 , x ≤ x 0 b(x)=\begin{cases} -k(x-x_0), x;x_0 \\ 0 , x \leq x_0 \\ \end{cases} b(x)={−k(x−x0​),x>x0​0,x≤x0​​   设蹦极者起跳位置距离地面 80 m 80m 80m，绳索原始长度 x 0 = 30 m x0=30m x0=30m，蹦极者起始速度为 0，即。其余参数分别为 k = 18.45 , a 1 = 1.3 , a 2 = 1.1 , m = 70 k g , = 9.8 m / s 2 k=18.45, a_1=1.3, a_2=1.1, m=70 kg ,=9.8 m/s^2 k=18.45,a1​=1.3,a2​=1.1,m=70kg,=9.8m/s2。试建立蹦极跳系统的Simulink仿真模型，并对系统进行仿真，分析此蹦极跳系统是否安全。

  建立蹦极跳系统的Simulink仿真模型。根据系统的数学描述选择合适的Simulink系统模块，建立此蹦极跳系统的Simulink模型，如上图所示。   Constant模块：用于表示蹦极者重力 m g mg mg。   Constant1模块：用于表示绳索原始长度 x 0 x_0 x0​。   Constant2模块：用于表示当 x ≤ x 0 x ≤ x_0 x≤x0​时函数 b ( x ) b(x) b(x)的取值，即 0 0 0。   Constant3模块：用于表示蹦极者起始位置相对地面的距离。   Gain模块：用于表示弹性系数的负数，即 − k -k −k。   Gain1模块：用于表示参数 a 1 a_1 a1​。   Gain2模块：用于表示参数 a 2 a_2 a2​。   Gain3模块：用于表示蹦极者质量的倒数，即 1 m \frac{1}{m} m1​。   Abs 模块：来自Math Operations子库，用于对信号取绝对值。   Integrator模块和Integrator1模块：来自Continuous子库，用于对信号进行积分。Integrator模块的输入信号为，输出为；Integrator1模块的输入信号为，输出为 x x x。   Switch 模块：来自Signal Routing 子库，用于构建分段函数 b ( x ) b(x) b(x)。

  mg模块：常值设为70*9.8。   0模块：常值设为0。   x0模块：常值设为30。   distance模块：常值设为80。   -k模块：增益设为-18.45。   a1模块：增益设为1.3。   a2模块：增益设为1.1。   1/m模块：增益设为1/70。   Switch模块：Threshold设为默认值，判断准则设为u2>Threshold，如图4-19所示。   Integrator模块和Integrator1模块：由于设初始位置和初始速度均为0，故这两个模块的初始值设为默认值（零）即可。

  仿真时间设置为50s，然后运行，结果如图所示。

  从图中可以看到，蹦极者相对地面的距离存在小于零的情况，也就是说此蹦极跳系统对于70kg的蹦极者来说不安全的，蹦极者会触碰到地面。

 【例2】比例微分控制器系统，其数学描述为： u ( t ) = K p e ( t ) + K d ∂ e ∂ t u(t)=K_p e(t) + K_d \frac{\partial e}{\partial t} u(t)=Kp​e(t)+Kd​∂t∂e​   现有一个执行机构，其传递函数为： 1 ( s − 1.1 ) ( s + 1.1 ) \frac{1}{(s-1.1)(s+1.1)} (s−1.1)(s+1.1)1​   显然，它是发散的，不稳定的，其开环阶跃响应曲线如图所示。

  Derivative模块：来自Continuous子库，微分器，其输入为 e ( t ) e(t) e(t)，输出为。   Gain模块：控制器比例项系数，即 K p = 15 K_p=15 Kp​=15。   Gain1模块：控制器微分项系数，即 K d = 2 K_d=2 Kd​=2。   Zero-Pole 模块：设置Zeros 零点为[]，Poles 极点为[1.1 -1.1]，Gain 增益为1，其余默认，如图所示。

  仿真时间设置为20s。   最大仿真步长设置为0.01。   绝对误差设置为1e-6。

  仿真结果如图所示，在阶跃信号的作用下，系统不断地对位置误差进行控制修正，最终系统达到了稳定状态，可以通过调整 K p K_p Kp​、 K d K_d Kd​以获得更好的性能。