Sigmoid 函数和 Logistic 回归是与伯努利分布有关的函数，关于伯努利分布的基本内容，参阅《机器学习数学基础》。

Sigmoid 函数也称为 logistic 函数。

若根据给定的输入 ，预测二值输出 ，可以通过条件概率分布：

其中 ​ 是预测的输出分布函数，它可以有很多不同的具体形式。为了避免使用 ​ 约束条件，可以改一个无约束的函数，​即：

上式的函数 就是sigmoid 函数或logistic 函数，其具体函数形式如下：

其中 ，其函数曲线如下图所示，即为 S 形状。

易知，上述函数的值域是 ​​​ ，它符合作为概率的输出值范围（所以，伯努利参数有一个有效值）。换个角度看，Sigmoid 函数也可以看成是亥维赛阶梯状函数（Heaviside step function）的“柔软化”。如下，是亥维赛阶梯函数定义和图示。

​​

将 Sigmoid 函数代入到前面所定义的伯努利分布 中，得：

​

上式中的 ​​​ 称为对数几率（log odds）：​ ，其中 ​ ，即：

​​

注：正是因为上述原因，logistic 函数不能翻译为“逻辑函数”，也因此，在周志华的《机器学习》一书中，将 logistic 回归译为“对数几率回归”。

因此，对数几率 ​ 与 之间形成的映射关系，称为 logistic 函数，其函数形式为：

取上式的逆（反函数），得到的函数称为 logit 函数，显然此函数值域是 ：

以下关于 Sigmoid 函数的性质和有关计算：

​​​

令 ，即使用线性模型进行预测，代入 中，得到：

​

考虑 ，则：

上式称为 logistic 回归（周志华在《机器学习》中译为“对数几率回归”）。