“电子邮件”，词典正规的拼写是e-mail，不是email。e-mail 是 electronic mail 的缩写。

e-mail 是一个可变名词（N-VAR），即可数或不可数均可。如果指电脑之间电子通讯这个系统、方式或电子邮件总称，e-mail 是抽象的不可数名词；它还可以指具体的一封电子邮件，此时是可数名词。

所以，网友的几个句子分别是不可数和可数用法。前两句也可以是复数，指具体的电子邮件：

1. On the Internet, I search for information, do my homework and check my e-mails.

2. I send e-mails to my friends and play computer games.

下句只能用单数：

You can contact us by e-mail. 你可以通过电子邮件跟我们联系。