数的定点表示和浮点表示（包含 IEEE 标准的浮点数在计算机中的表示） |
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在计算机中，小数点不用专门的器件表示，而是按约定的方式标出，共有两种方法表示小数点的存在，即 定点表示 和 浮点表示。 定点表示的数称为定点数。 浮点表示的数称为浮点数。 1. 定点表示小数点固定在某一位置的数为定点数。 计算机中，采用定点数的机器称为定点机。 定点表示的两种格式在定点机中，由于小数点的位置固定不变，故当及其处理的数不是纯小数或纯整数时，必须乘上一个比例因子，否则会产生“溢出”。 2. 浮点表示浮点数即小数点的位置可以浮动的数。 计算机中，采用浮点数的数据格式的机器称为浮点机。 为什么要引入浮点数表示？ 计算机处理的数不一定是纯小数或纯整数，比如 圆周率 3.1415926 定点数表示的范围太小，如果为了能表示两个大小相差很大的数据，则需要很长的机器字长，就会出现数据存储单元的利用率很低的情况。 例如：电子的质量 9x10^(-28) g，太阳的质量 2x10^33 g，而上面的这些问题均可以用浮点数表示 1）浮点数的表示形式 浮点数的表示形式2）浮点数的表示范围 浮点数的表示范围3）浮点数的规格化形式 为了提高浮点数的精度，其尾数必须为规格化数。 如果不是规格化数，就要通过修改阶码并同时左右移尾数的办法，使其变成规格化数。 将非规格化数转换成规格化数的过程称为规格化。 当基数为 2 时，尾数最高位为 1 的数为规格化数 规格化时，尾数左移 1 位，阶码减 1 （左规，向左规格化） 规格化时，尾数右移 1 位，阶码加 1（右规，向右规格化）尾数规格化后的浮点数表示范围 浮点数的表示范围（非规格化和规格化） 当基数为 4 时，尾数最高两位不全为零的数为规格化数 规格化时，尾数左移 2 位，阶码减 1 规格化时，尾数右移 2 位，阶码加 1 当基数为 8 时，尾数最高三位不全为零的数为规格化数 规格化时，尾数左移 3 位，阶码减 1 规格化时，尾数右移 3 位，阶码加 1 同理类推基数为 16 或 2^n 时的规格化过程基数不同，对数的表示范围和精度都有影响 一般来说，基数 r 越大，可表示的浮点数范围越大，而且所表示的数的个数越多，但是精度反而会下降 例如： r=16 的浮点数，因其规格化数的尾数最高三位可能出现零，故与其尾数位数相同的 r=2 的浮点数相比，后者可能比前者多三位精度。 规格化原因 对浮点数进行规格化，就是尽可能的保证数据的精度，如果不进行规格化，小数点后面可能会有若干个 0，如果我们用原码表示，那么这些 0 就表示真正的 0，放到计算机当中的话，尾数的长度是有限的，超出给定长度的那部分尾数的值，就要被扔掉，严重影响数据的精度，为了尽可能保证数据的精度，那么我们要让有效的位数尽可能的多，所以我们采用规格化的形式 3. 练习求数值在定点机和浮点机中的机器数形式 数值在定点机和浮点机中的机器数形式根据给定的数，逆推阶码和尾数的位数 根据给定的数，逆推阶码和尾数的位数求阶码为移码、尾数为补码的形式 求阶码为移码、尾数为补码的形式 4. 机器零 当浮点数 尾数为 0 时，不论其阶码为何值，按机器零处理 当浮点数 阶码等于或小于它所表示的最小数 时（补码中最小值为 -2^m），不论尾数为何值，机器都把该浮点数作为零看待，按机器零处理 以上两种情况的示意图（阶码和尾数都用补码表示的情况） 机器零 当浮点数的阶码用移码表示，尾数用补码表示 当阶码为它所能表示的最小值（补码中最小值为 -2^m）且尾数为 0 时，阶码（移码）全为 0，尾数（补码）也全为 0，这样的机器零为全零表示，更有利于简化机器中“判 0”电路 当浮点数的阶码用移码表示，尾数用补码表示 5. IEEE 574 标准现代计算机中，浮点数一般采用 IEEE 指定的国际标准，这种标准形式如下： IEEE 754 标准.png S 为数符，它表示浮点数的正负，但与其有效位（尾数）是分开的。 阶码用移码表示：阶码真值 + 一个常数（偏移量） 1）短实数的偏移量为（十六进制数表示）：7FH 2）长实数的偏移量为（十六进制数表示）：3FFH 3）临时实数的偏移量为（十六进制数表示）：3FFFH 尾数用原码表示，尾数部分通常都是规格化表示，即非“0”的有效位最高位总是“1”；但是在 IEEE 标准中，有效位呈现以下形式： 1）1▲fff······fff ====> 1 后面的▲为假想的二进制小数点。在实际表示中，对短实数和长实数，这个整数位的 1 是省略的，称为隐藏位；对于临时实数不采用隐藏位方案。 2）非“0”的有效位最高位为“1”（隐含），既然第一位一定是 1（整数位），那么第一位我们就可以把它隐含，就不在数据当中进行表示了，计算的过程当中，我们再把它补齐就可以了，这样做的一个好处是实际上增加了尾数的位数，增大了尾数能够表示的精度 5.1） 练习实数 178.125 在计算机中的表示（IEEE 标准） 实数 178.125 在计算机中的表示（IEEE 标准）实数 1.25 在计算机中的表示（IEEE 标准）（详解） 实数 1.25 在计算机中的表示（IEEE 标准）（详解）从计算机存储的浮点数的机器数逆推出十进制（IEEE 标准） 从计算机存储的浮点数的机器数逆推出十进制（IEEE 标准） 5.2） C语言代码，计算一个 float 类型（32 位，即短实数）在计算机中存储的机器数 #include void numToBinary(float num) { int *p = (int *)# // printf("%%d = %d\n", *p); // printf("%%f = %f\n", *p); for (int i = sizeof(int) * 8 - 1; i >= 0; i--) { // 将 1 左移，再进行与操作 int mask = 1 |
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