重点内容：PN结分类及结构、PN结能带图、电流电压特性、势垒宽度以及势垒电容、PN结击穿

从直观上来讲，PN结实际上就是一个P型半导体和一个N型半导体怼在一起形成的，但在制造的时候我们往往会在N型半导体中（或P型）掺入P型杂质（或N型）以形成两种不同类型半导体相接触的格局。掺入的方式具体有合金法和扩散法，这两种方法会形成两种不一样的PN结，这种不同体现在PN结附近的杂质浓度分布上。

对于合金法，以P型杂质掺入N型半导体为例，我们把一块铝放在N型硅片上，加热至铝融化并与硅形成熔融体，然后降低温度使其凝固，这样铝就被掺入硅片中。采用此法制成的PN结是突变结，之所以这样称呼它是因为在交界面N型的一侧杂质浓度为常数 N_{D} ，而在P型的一侧杂质浓度就立刻变为 N_{A} ，一般来说 N_{A} 和 N_{D} 相差得也比较大。

扩散法就是利用一些特殊的工艺将P型杂质掺入N型半导体中（反之亦可），制成PN结。与合金法PN结不同的是，利用扩散法做出的是缓变PN结，也就是说被掺入的杂质浓度是逐渐变化的。根据杂质补偿效应，被掺入杂质浓度高于原有杂质浓度时半导体呈现出被掺入的那种杂质特性；而当掺入的杂质浓度逐渐降低直到低于原有杂质浓度的时候，半导体就呈现出原有杂质特性；掺入杂质浓度等于原有杂质浓度的那点就是PN结所在位置。为简化计算考虑，我们认为掺入杂质浓度的变化趋势近似为一条直线，斜率就是实际变化曲线中PN结处的切线斜率。进一步地，如果斜率比较大，那么就可以把缓变结当作突变结来考虑。

形成了PN结以后，由于P区空穴浓度远高于N区空穴浓度，同时N区电子浓度远高于P区电子浓度，因此自然而然地会发生载流子的扩散运动。N区中的电子会扩散到P区中，P区中的空穴会扩散到N区中，这种扩散带来的效果就是PN结两侧不再处于电中性了，紧邻交界面的P区呈现出受主的负电荷，而N区则呈现出施主的正电荷，我们称这一区域为空间电荷区，如下图所示：

随着空间电荷区的产生，我们可以直观地发现，由于N区带正电、P区带负电，因而会形成一个从N区指向P区的电场，这个电场会给扩散中的载流子施加与其扩散方向相反的力，阻止其扩散，因此PN结会最终达到一个平衡状态，空间电荷区的厚度不再发生变化。鉴于这是一个动态平衡的状态，所以各个位置处的电子、空穴浓度不再随时间变化（虽然不同位置处的浓度不同）。

根据以上假设，由于空间电荷区厚度不再改变，因此电子电流和空穴电流应各自为0。电流包含扩散流和电场作用下的漂移流，由此写出下面的方程（只考虑电子电流）：

J_{n}=nq\mu_{n}\varepsilon+D_{n}q\frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}x}=0

需要注意的是，电子浓度计算公式 n=N_{c}\mathrm{exp}\left( \frac{E_{f}-E_{c}}{kT} \right) 虽然仍适用，但是导带底能量 E_{c} 要附加上PN结中电场引起的电势 -qV(x) 。因此电子浓度为 n=N_{c}\mathrm{exp}\left( \frac{E_{f}-E_{c}+qV(x)}{kT} \right) 。将浓度公式以及电场强度公式 \varepsilon=-\frac{\mathrm{d}V(x)}{\mathrm{d}x} 带入电流方程中，得到：

J_{n}=-q\mu_{n}N_{c}\mathrm{exp}\left( \frac{E_{f}-E_{c}+qV(x)}{kT} \right)\frac{\mathrm{d}V(x)}{\mathrm{d}x}+qD_{n}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[ N_{c}\mathrm{exp}\left( \frac{E_{f}-E_{c}+qV(x)}{kT} \right) \right]=0

进一步化简：

-q\mu_{n}N_{c}\mathrm{exp}\left( \frac{E_{f}-E_{c}+qV(x)}{kT} \right)\frac{\mathrm{d}V(x)}{\mathrm{d}x}+qD_{n}N_{c}\mathrm{exp}\left( \frac{E_{f}-E_{c}+qV(x)}{kT} \right)\cdot\left[ \frac{1}{kT}\frac{\mathrm{d}E_{f}}{\mathrm{d}x}+\frac{q}{kT}\frac{\mathrm{d}V(x)}{\mathrm{d}x} \right]=0

再将爱因斯坦关系 \frac{D_{n}}{\mu_{n}}=\frac{kT}{q} 带入上式化简：

qD_{n}N_{c}\mathrm{exp}\left( \frac{E_{f}-E_{c}+qV(x)}{kT} \right)\frac{1}{kT}\frac{\mathrm{d}E_{f}}{\mathrm{d}x}=0 ，也就是说 \frac{\mathrm{d}E_{f}}{\mathrm{d}x}=0 。

最终我们证明了处于平衡状态的PN结费米能级处处相等，有了这个结论，我们就能比较容易地画出PN结的能带图。

经过上面的分析，我们知道PN结中费米能级处处相等，但是显然P型半导体和N型半导体的费米能级是不一样的，一个更靠近导带底、一个更靠近价带顶，那么如何使它们相等呢？实际上，正是导带底和价带顶的位置发生了变化，才使得费米能级维持在相同水平，如下图所示：

从图中可以直观看出，为了使费米能级达到相等状态，P区的整个禁带要相对N区的禁带上移 E_{fn}-E_{fp} ，这个能量差实际上就是空间电荷区电场的电势差引起的。需要特别注意一点，能带图中空间电荷区的价带顶和导带底是一条曲线而非直线。在后面我们会分别定量计算这条曲线的方程，只是在画图的时候不应该画成直线，这无论对于缓变结还是突变结来说都是不正确的。

现在，我们已经分析出了空间电荷区两端的电势差等于 E_{fn}-E_{fp} ，同时再假设半导体所处的温度没那么高，P区和N区的多子主要由杂质电离产生，那么就可以分别写出P区和N区中的电子浓度：

（P区中的电子浓度记为 n_{p0} ，P区的导带底记为 E_{cp} ） n_{p0}=N_{c}\mathrm{exp}\left( \frac{E_f-E_{cp}}{kT} \right)\approx\frac{n_{i}^{2}}{N_{A}}

（N区中的电子浓度记为 n_{n0}，N区的导带底记为 E_{cn} ） n_{n0}=N_{c}\mathrm{exp}\left( \frac{E_f-E_{cn}}{kT} \right)\approx N_{D}

将上述两个式子做比： \frac{n_{p0}}{n_{n0}}=\frac{N_{c}\mathrm{exp}\left( \frac{E_f-E_{cp}}{kT} \right)}{N_{c}\mathrm{exp}\left( \frac{E_f-E_{cn}}{kT} \right)}=\mathrm{exp}\left( \frac{E_{cn}-E_{cp}}{kT} \right)\approx\frac{n_{i}^{2}}{N_{A}N_{D}}

由此得到：（假设空间电荷区两端的电势差为 V_{D} ） qV_{D}=E_{cp}-E_{cn}=-kT\mathrm{ln}\left( \frac{n_{i}^{2}}{N_{A}N_{D}} \right)

因此算得电势差（也称势垒高度）为： V_{D}=\frac{kT}{q}\mathrm{ln}\left( \frac{N_{A}N_{D}}{n_{i}^{2}} \right)

以上分析是在没有外加电压的情况下进行的，最终得到的势垒高度与温度以及杂质浓度有关。现在，我们给PN结加上一个电压，来分析一下能带图会有怎样的改变。首先需要确定的是外加电压的方向，第一种情况是加入正向电压——P区接高电压、N区接低电压。这时外电场方向与空间电荷区原有内电场方向相反，削弱了原有电场，导致势垒高度下降。此时扩散流要大于漂移流，因此就会存在从N区扩散到P区的非平衡少子电子以及从P区扩散到N区的非平衡少子空穴，它们在紧邻空间电荷区的外侧形成堆积，从而引发了在P区和N区内部的扩散电流。第二种情况是加入反向电压——P区接低电压、N区接高电压。这时外电场增强了空间电荷区的内电场，抑制了非平衡少子的扩散。加入正向和反向电压的PN结能带图如下所示：

这里需要解释的是，导带底以及价带顶能带在空间电荷区仍是一条曲线而非直线，课本上的能带图在此处容易引起误解，而上面图片中的 E_{fn} （蓝色线）和 E_{fp} （红色线）对于理想PN结来说在P区和N区中的变化同样应当是曲线。这些在下面都会进行定量推导。其实现在我们也可以理解，为什么称扩散到P区中的电子和扩散到N区中的空穴为非平衡少子，从费米能级分裂的角度来说，在临近空间电荷区的P区和N区中，电子和空穴的费米能级不再统一，这就是外电场促进/抑制少子注入的结果。

在计算PN结电流电压特性之前，我们先来对研究对象做一些假设以便于计算。首先，我们认为外加的电压全部落在空间电荷区上，也就是说空间电荷区以外的P区和N区内是没有外电场的，这样流过PN结的电流就只有非平衡少子在P区和N区内的扩散流，而没有电场作用下的漂移流。其次，我们不考虑空间电荷区内部的复合作用，实际上，空间电荷区的复合会减小扩散过去的非平衡少子，因此理论值相比于实际值会偏小。

根据以上假设，实际上我们只要求出P区内非平衡少子电子的浓度分布，以及N区内非平衡少子空穴的浓度分布即可。我们考虑P区（或者N区，此处以P区为例）内的一段 x\sim x+\mathrm{d}x 的微元，如下图所示：

稳定时，微元内的非平衡少子浓度应当不变，根据上图列出稳态方程：

D_{n}\left( \frac{\mathrm{d}\Delta n}{\mathrm{d}x} \right)_{x+\mathrm{d}x}-D_{n}\left( \frac{\mathrm{d}\Delta n}{\mathrm{d}x} \right)_{x}-\frac{\Delta n}{\tau _{n}}\cdot \mathrm{d}x=0

化简后得到最终的微分方程： D_{n}\frac{\mathrm{d}^{2}\Delta n}{\mathrm{d}x^{2}}-\frac{\Delta n}{\tau_{n}}=0

该方程的通解为： \Delta n=A\mathrm{exp}\left( \frac{x}{L_{n}} \right)+B\mathrm{exp}\left( -\frac{x}{L_{n}} \right) ，其中 L_{n}=\sqrt{D_{n}\tau_{n}}

接下来要做的是确定待定系数A和B，这需要我们知道边界条件，也就是扩散区和空间电荷区交界处（假设其坐标为 -x_{p} ）的非平衡少子浓度。从之前的PN结能带图中可以直接看出，由于加上外电压V以后 -x_{p}处的 E_{fn} 向导带底靠近了 qV ，因此加入外电压下的 -x_{p} 处的少子电子浓度要在原来少子浓度 n_{p0} 的基础上乘以 \mathrm{exp}\left( \frac{qV}{kT} \right) 。所以 (\Delta n)_{x=-x_{p}}=n_{p0}\left[ \mathrm{exp}\left( \frac{qV}{kT} \right)-1 \right] 。除此之外，确定两个待定系数需要两个边界条件，另外一个条件就是在无穷远处少子浓度会恢复到原有值 n_{p0} ，也就是 (\Delta n)_{x=-\infty}=0 。将这些条件带入上面的通解，求出A和B：

B=0 ； A=n_{p0}\left[ \mathrm{exp}\left( \frac{qV}{kT} \right)-1 \right]\mathrm{exp}\left( \frac{x_{p}}{L_{p}} \right)

将A和B带入上面的通解，求得P扩散区非平衡少子浓度分布为： \Delta n=n_{p0}\left[ \mathrm{exp}\left( \frac{qV}{kT} \right)-1 \right]\mathrm{exp}\left( \frac{x_{p}+x}{L_{p}} \right)

其中x坐标的零点为PN结处。

同样地，我们也可以求出N扩散区非平衡少子浓度分布为： \Delta p=p_{n0}\left[ \mathrm{exp}\left( \frac{qV}{kT} \right)-1 \right]\mathrm{exp}\left( \frac{x_{n}-x}{L_{p}} \right)

又因为总的扩散流密度等于电子扩散流加上空穴扩散流，因此我们需要把 -x_{p} 处以及 x_{n} 处的扩散电流密度相加得到总的PN结电流密度。

因此有 J=J_{p}+J_{n}=-D_{p}\left( \frac{\mathrm{d}\Delta p}{\mathrm{d}x} \right)_{x=-x_{p}}+D_{n}\left( \frac{\mathrm{d}\Delta n}{\mathrm{d}x} \right)_{x=x_{n}}=\left( \frac{qD_{n}n_{p0}}{L_{n}}+\frac{qD_{p}p_{n0}}{L_{p}} \right)\left[ \mathrm{exp}\left( \frac{qV}{kT} \right)-1 \right]

这就是理想PN结电流电压特性，但是实际上，受到势垒区复合以及大注入的影响，电流电压特性的变化率会有所不同，一般来说有 J\propto \mathrm{exp}\left( \frac{qV}{mkT} \right),1\leq m\leq 2 。现在，我们可以用解出的非平衡少子浓度反过来对PN结能带图做些解释。之所以说 E_{fn} 和 E_{fp} 对于理想PN结来说在P区和N区中的变化是曲线，是因为在扩散区中有：

\Delta n=n_{p0}\left[ \mathrm{exp}\left( \frac{qV}{kT} \right)-1 \right]\mathrm{exp}\left( \frac{x_{p}+x}{L_{p}} \right)

以及 \Delta p=p_{n0}\left[ \mathrm{exp}\left( \frac{qV}{kT} \right)-1 \right]\mathrm{exp}\left( \frac{x_{n}-x}{L_{p}} \right) ，

这两个式子表明，在P扩散区和N扩散区中非平衡少子浓度呈指数变化。又由于 \Delta n=n_{p}-n_{p0}=N_{c}\mathrm{exp}\left( \frac{E_{fn}-E_{c}}{kT} \right)-n_{p0} 和 \Delta p=p_{n}-p_{n0}=N_{v}\mathrm{exp}\left(- \frac{E_{fp}-E_{c}}{kT} \right)-p_{n0} ，联合上面的式子，可以列出：

n_{p0}\left[ \mathrm{exp}\left( \frac{qV}{kT} \right)-1 \right]\mathrm{exp}\left( \frac{x_{p}+x}{L_{p}} \right)=N_{c}\mathrm{exp}\left( \frac{E_{fn}-E_{c}}{kT} \right)-n_{p0} ；

p_{n0}\left[ \mathrm{exp}\left( \frac{qV}{kT} \right)-1 \right]\mathrm{exp}\left( \frac{x_{n}-x}{L_{p}} \right)=N_{v}\mathrm{exp}\left(- \frac{E_{fp}-E_{v}}{kT} \right)-p_{n0}

因此， E_{fn} 和 E_{fp} 在扩散区内的变化规律为：

E_{fn}=kT\mathrm{ln}\left\{ n_{p0}\left[ \mathrm{exp}\left( \frac{qV}{kT} \right)-1 \right]\mathrm{exp}\left( \frac{x_{p}+x}{L_{p}} \right)+n_{p0} \right\}+E_{c}-\mathrm{ln}N_{c}

E_{fp}=-kT\mathrm{ln}\left\{ p_{n0}\left[ \mathrm{exp}\left( \frac{qV}{kT} \right)-1 \right]\mathrm{exp}\left( \frac{x_{n}-x}{L_{p}} \right)+p_{n0} \right\}-E_{v}-\mathrm{ln}N_{v}

画出图像大致为下图所示（以P扩散区内的 E_{fn} 为例）：

下面我们就对空间电荷区做一些更为细致的研究。首先回忆一下，由于制作工艺的不同，PN结大体可以分为突变结和缓变结两种，这两种模型的差别就在于空间电荷区内的电荷分布。对于突变结，我们认为电荷体密度分布满足如下关系：

\rho (x)=-qN_{A},(-x_{p}