Python 教程之 Numpy（10）

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Python 教程之 Numpy（10）

2023-04-06 07:13| 来源: 网络整理| 查看: 265

NumPy 的线性代数模块提供了多种方法来在任何 numpy 数组上应用线性代数。可以找到：

数组的秩、行列式、跟踪等。矩阵的特征值矩阵和向量积（点积、内积、外积等）、矩阵求幂求解线性或张量方程等等！ # 将 numpy 导入为 np import numpy as np A = np.array([[6, 1, 1], [4, -2, 5], [2, 8, 7]]) # 矩阵的秩 print("Rank of A:", np.linalg.matrix_rank(A)) # 矩阵 A 的迹 print("\nTrace of A:", np.trace(A)) # 矩阵的行列式 print("\nDeterminant of A:", np.linalg.det(A)) # 矩阵 A 的逆 print("\nInverse of A:\n", np.linalg.inv(A)) print("\nMatrix A raised to power 3:\n", np.linalg.matrix_power(A, 3))

输出：

Rank of A: 3 Trace of A: 11 Determinant of A: -306.0 Inverse of A: [[ 0.17647059 -0.00326797 -0.02287582] [ 0.05882353 -0.13071895 0.08496732] [-0.11764706 0.1503268 0.05228758]] Matrix A raised to power 3: [[336 162 228] [406 162 469] [698 702 905]]

矩阵特征值函数

numpy.linalg.eigh(a, UPLO=‘L’) ：此函数用于返回复数 Hermitian（共轭对称）或实对称矩阵的特征值和特征向量。返回两个对象，一个包含a 的特征值，以及相应特征向量（以列为单位）的二维方阵或矩阵（取决于输入类型）。

# 解释 eigh() 函数的 Python 程序 from numpy import linalg as geek # 使用数组函数创建数组 a = np.array([[1, -2j], [2j, 5]]) print("Array is :",a) # 使用 with() 函数计算特征值 c, d = geek.eigh(a) print("Eigen value is :", c) print("Eigen value is :", d)

输出：

Array is : [[ 1.+0.j, 0.-2.j], [ 0.+2.j, 5.+0.j]] Eigen value is : [ 0.17157288, 5.82842712] Eigen value is : [[-0.92387953+0.j , -0.38268343+0.j ], [ 0.00000000+0.38268343j, 0.00000000-0.92387953j]]

numpy.linalg.eig(a) ：该函数用于计算方阵的特征值和右特征向量。

# 解释 eig() 函数的 Python 程序 from numpy import linalg as geek # 使用 diag 函数创建数组 a = np.diag((1, 2, 3)) print("Array is :",a) # 使用 eig() 函数计算特征值 c, d = geek.eig(a) print("Eigen value is :",c) print("Eigen value is :",d)

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输出：

Array is : [[1 0 0], [0 2 0], [0 0 3]] Eigen value is : [ 1 2 3] Eigen value is : [[ 1 0 0], [ 0 1 0], [ 0 0 1]]

功能描述 linalg.eigvals() 计算一般矩阵的特征值。 linalg.eigvalsh(a[, UPLO]) 计算复数 Hermitian 或实对称矩阵的特征值。矩阵和向量积

numpy.dot(vector_a, vector_b, out = None)：返回向量 a 和 b 的点积。它可以处理二维数组，但将它们视为矩阵并将执行矩阵乘法。对于 N 维，它是 a 的最后一个轴和 b 的倒数第二个轴的和积：

dot(a, b)[i,j,k,m] = sum(a[i,j,:] * b[k,:,m])

代码#1：

# 说明 numpy.dot() 方法的 Python 程序 import numpy as geek # Scalars product = geek.dot(5, 4) print("Dot Product of scalar values : ", product) # 1D array vector_a = 2 + 3j vector_b = 4 + 5j product = geek.dot(vector_a, vector_b) print("Dot Product : ", product)

在 IDE 上运行

输出：

Dot Product of scalar values : 20 Dot Product : (-7+22j)

代码 #1 是如何工作的？

vector_a = 2 + 3j vector_b = 4 + 5j now dot product = 2(4 + 5j) + 3j(4 - 5j) = 8 + 10j + 12j - 15 = -7 + 22j

numpy.vdot(vector_a, vector_b)：返回向量 a 和 b 的点积。如果第一个参数是复数，则第一个参数的复共轭（这是vdot()工作不同的dot()）用于计算点积。它可以处理多维数组，但可以将其作为扁平数组处理。

代码#1：

# 说明 numpy.vdot() 方法的 Python 程序 import numpy as geek # 1D array vector_a = 2 + 3j vector_b = 4 + 5j product = geek.vdot(vector_a, vector_b) print("Dot Product : ", product)

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输出：

Dot Product : (23-2j)

代码 #1 是如何工作的？

vector_a = 2 + 3j vector_b = 4 + 5j As per method, take conjugate of vector_a i.e. 2 - 3j now dot product = 2(4 - 5j) + 3j(4 - 5j) = 8 - 10j + 12j + 15 = 23 - 2j 功能描述 matmul() 两个数组的矩阵乘积。内（）两个数组的内积。外（）计算两个向量的外积。 linalg.multi_dot() 在单个函数调用中计算两个或多个数组的点积，同时自动选择最快的评估顺序。张量点（）计算数组 >= 1-D 沿指定轴的张量点积。 einsum() 评估操作数上的 Einstein 求和约定。 einsum_path() 通过考虑中间数组的创建来评估 einsum 表达式的最低成本收缩顺序。 linalg.matrix_power() 将方阵提高到（整数）次幂 n。克朗（）两个数组的克罗内克积。求解方程和求逆矩阵

numpy.linalg.solve() ：求解一个线性矩阵方程，或线性标量方程组。计算完全确定的，即满秩的线性矩阵方程 ax = b 的“精确”解 x。

# 说明 numpy.linalg.solve() 方法的 Python 程序 import numpy as np # 使用数组函数创建数组 a = np.array([[1, 2], [3, 4]]) # 使用数组函数创建数组 b = np.array([8, 18]) print(("Solution of linear equations:", np.linalg.solve(a, b)))

输出：

Solution of linear equations: [ 2. 3.]

numpy.linalg.lstsq() ：返回线性矩阵方程的最小二乘解。通过计算最小化欧几里得 2 范数 ||的向量 x 求解方程 ax = b b – 斧头 ||^2。该等式可以是欠定的、良好的或过定的（即，a 的线性独立行的数量可以小于、等于或大于其线性独立的列的数量）。如果 a 是平方且满秩，则 x（除了舍入误差）是方程的“精确”解。

# 说明 numpy.linalg.lstsq() 方法的 Python 程序 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # x co-ordinates x = np.arange(0, 9) A = np.array([x, np.ones(9)]) # 线性生成的序列 y = [19, 20, 20.5, 21.5, 22, 23, 23, 25.5, 24] # obtaining the parameters of regression line w = np.linalg.lstsq(A.T, y)[0] # 绘制线 line = w[0]*x + w[1] # regression line plt.plot(x, line, 'r-') plt.plot(x, y, 'o') plt.show()

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输出：

功能描述 numpy.linalg.tensorsolve() 求解 x 的张量方程 ax = b。 numpy.linalg.inv() 计算矩阵的（乘法）逆。 numpy.linalg.pinv() 计算矩阵的 (Moore-Penrose) 伪逆。 numpy.linalg.tensorinv() 计算 N 维数组的“逆”。特殊功能

numpy.linalg.det() ：计算数组的行列式。

# 说明 numpy.linalg.det() 方法的 Python 程序 import numpy as np # 使用数组方法创建数组 A = np.array([[6, 1, 1], [4, -2, 5], [2, 8, 7]]) print(("\nDeterminant of A:" , np.linalg.det(A)))

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输出：

Determinant of A: -306.0

numpy.trace() ：返回数组沿对角线的总和。如果 a 是二维的，则返回沿其对角线与给定偏移量的总和，即所有元素的总和 a[i,i+offset] i.如果 a 有两个以上的维度，则由 axis1 和 axis2 指定的轴用于确定返回其轨迹的二维子数组。结果数组的形状与移除了axis1和axis2的a的形状相同。

# 说明 numpy.trace()() 方法的 Python 程序 import numpy as np # 使用数组方法创建数组 A = np.array([[6, 1, 1], [4, -2, 5], [2, 8, 7]]) print("\nTrace of A:", np.trace(A))

在 IDE 上运行

输出：

Trace of A: 11

功能描述 numpy.linalg.norm() 矩阵或向量范数。 numpy.linalg.cond() 计算矩阵的条件数。 numpy.linalg.matrix_rank() 使用 SVD 方法返回数组的矩阵秩 numpy.linalg.cholesky() Cholesky 分解。 numpy.linalg.qr() 计算矩阵的 qr 分解。 numpy.linalg.svd() 奇异值分解。

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