f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ [ a n c o s n w t + b n s i n n w t ] f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_ncosnwt+b_nsinnwt] f(t)=2a0​​+∑n=1∞​[an​cosnwt+bn​sinnwt]

a 0 = 2 T ∫ 0 T f ( t ) d t a_0=\frac{2}{T}\int_{0}^T f(t) dt a0​=T2​∫0T​f(t)dt

a n = 2 T ∫ 0 T f ( t ) c o s n w t d t a_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)cosnwtdt an​=T2​∫0T​f(t)cosnwtdt

b n = 2 T ∫ 0 T f ( t ) s i n n w t d t b_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)sinnwtdt bn​=T2​∫0T​f(t)sinnwtdt

e i θ = c o s θ + i s i n θ e^{i \theta}=cos \theta + i sin \theta eiθ=cosθ+isinθ

c o s θ = 1 2 ( e i θ + e − i θ ) cos\theta=\frac{1}{2}(e^{i\theta}+e^{-i\theta}) cosθ=21​(eiθ+e−iθ)

s i n θ = − 1 2 ( e i θ − e − i θ ) sin\theta=-\frac{1}{2}(e^{i\theta}-e^{-i\theta}) sinθ=−21​(eiθ−e−iθ)

f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ [ a n c o s n w t + b n s i n n w t ] = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ [ a n 1 2 ( e i n w t + e − i n w t ) − 1 2 i b n ( e i n w t − e − i n w t ) ] = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ [ a n − i b n 2 e i n w t + a n + i b n 2 e − i n w t ] = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n − i b n 2 e i n w t + ∑ n = 1 ∞ a n + i b n 2 e − i n w t = ∑ n = 0 0 a 0 2 e i n w t + ∑ n = 1 ∞ a n − i b n 2 e i n w t + ∑ n = − ∞ − 1 a − n + i b − n 2 e i n w t = ∑ − ∞ ∞ C n e i n w t \begin{aligned} f(t) &=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_ncosnwt+b_nsinnwt] \\ &=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_n \frac{1}{2}(e^{inwt}+e^{-inwt})-\frac{1}{2}ib_n(e^{inwt}-e^{-inwt})] \\ &=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[\frac{a_n - ib_n}{2}e^{inwt}+\frac{a_n+ib_n}{2}e^{-inwt}] \\ &=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n - ib_n}{2}e^{inwt}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n+ib_n}{2}e^{-inwt} \\ &=\sum_{n=0}^0\frac{a_0}{2}e^{inwt}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n - ib_n}{2}e^{inwt} + \sum_{n=-\infty}^{-1}\frac{a_{-n}+ib_{-n}}{2}e^{inwt} \\ &=\sum_{-\infty}^{\infty}Cne^{inwt} \end{aligned} f(t)​=2a0​​+n=1∑∞​[an​cosnwt+bn​sinnwt]=2a0​​+n=1∑∞​[an​21​(einwt+e−inwt)−21​ibn​(einwt−e−inwt)]=2a0​​+n=1∑∞​[2an​−ibn​​einwt+2an​+ibn​​e−inwt]=2a0​​+n=1∑∞​2an​−ibn​​einwt+n=1∑∞​2an​+ibn​​e−inwt=n=0∑0​2a0​​einwt+n=1∑∞​2an​−ibn​​einwt+n=−∞∑−1​2a−n​+ib−n​​einwt=−∞∑∞​Cneinwt​ C n = { a 0 2 , n = 0 a n − i b n 2 , n > 0 a − n + i b − n 2 , n < 0 Cn= \begin{cases} \frac{a_0}{2}, & \text {$n=0$} \\ \frac{a_n - ib_n}{2}, & \text{$n > 0$} \\ \frac{a_{-n}+ib_{-n}}{2}, & \text{$n < 0$} \\ \end{cases} Cn=⎩⎪⎨⎪⎧​2a0​​,2an​−ibn​​,2a−n​+ib−n​​,​n=0n>0n 0 n>0 n>0 C n = 1 2 ( 2 T ∫ 0 T f ( t ) c o s n w t d t − i 2 T ∫ 0 T f ( t ) s i n n w t d t ) = 1 T ∫ 0 T f ( t ) ( c o s n w t − i s i n n w t ) d t = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n w t d t \begin{aligned} Cn &=\frac{1}{2}(\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)cosnwtdt - i\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)sinnwtdt) \\ &=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)(cosnwt-isinnwt)dt \\ &=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)e^{-inwt}dt \end{aligned} Cn​=21​(T2​∫0T​f(t)cosnwtdt−iT2​∫0T​f(t)sinnwtdt)=T1​∫0T​f(t)(cosnwt−isinnwt)dt=T1​∫0T​f(t)e−inwtdt​ c o s n w t − i s i n n w t = c o s ( − n w t ) + i s i n ( − n w t ) = e − i n w t cosnwt-isinnwt=cos(-nwt)+isin(-nwt)=e^{-inwt} cosnwt−isinnwt=cos(−nwt)+isin(−nwt)=e−inwt

当 n < 0 n