CHƯƠNG II. MŨ VÀ LOGARITChủ đề 1: LŨY THỪA ................................................................................................................. 2CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ LŨY THỪA ........................................................................................... 12CHỦ ĐỀ 3: LOGARIT ............................................................................................................... 17CHỦ ĐỀ 4: HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT .............................................................. 43CHỦ ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH MŨ ......................................................................................... 78CHỦ ĐỀ 6: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ .............................................................................. 107CHỦ ĐỀ 7: PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT ............................................................................ 119CHỦ ĐỀ 8: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT ................................................................... 145CHỦ ĐỀ 9 : PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CHỨA THAM SỐ............................................................................................................................... 158CHỦ ĐỀ 10: ỨNG DỤNG MŨ VÀ LOGARIT-GTLN, GTNN CỦA MŨ VÀ LOGARITNHIỀU BIẾN ....................................................................................................... 173Trang 1 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giảiChủ đề 1: LŨY THỪAI. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI1. Luỹ thừa vói số mũ nguyên➢ Luỹ thừa với số mũ nguyên dương.và n Cho a*. Khi đó a n = a.a.a........a.n thöøa soáb .Khi n chẵn và b  0 thì không tồn tại căn bậc n của số b .Khi n chẵn; b = 0 chỉ có duy nhất một căn bậc n của số b làKhi n chẵn; b  0 có 2 căn bậc n của số thực b lànn0 =0b và − n b .3. Luỹ thừa với số mũ hữu tỷmCho số thực a  0 và số hữu tỷ r =m, trong đó m  ; n  , n  2. .Khi đó a r = a n = n a mn4. Luỹ thừa vói số mũ vô tỷGiả sử a là một số dương và  là một số vô tỷ và ( rn ) là một dãy số hữu tỷ sao cho lim rn = m →+Khi đó lim a r = a .n= a m− n  m = 0  n = a − n  mnaa2. a n .b n = ( ab ) , n a . n b = n ab( )3.3. a mnnn= a m. nan  a  n a n a=  ,=.bn  b  n b413360a5) ( a  0) ta được:C. A = a2312D. A = a52Lời giải32435)494912= A = a (tại sao12lại làm được như vậy các em học phần Logarit rồi quay lại bàí này nhé )1213 6Ví dụ 2: Đơn giản biểu thức A = b .b . b ( b  0 ) ta được:A. A = b 2B. A = b3C. A = bD.3b22a. 3 a 26a( a  0)56ta được:C. A = a56D. A = aLời giải12231 2 1+ +a. aLời giải111 1 5+ +4 125Ta có: A = a 3 .a 4 .a12 = a 3= a.Chọn D.Ví dụ 5: Đơn giản biểu thức A = a1+ 3 . a 2+ 3 . a5+3A. A = a 2+ 2B. A = a 2+363( a  0)1+ 3 2 + 3 5+ 3++236= aa2+ 3.Chọn B.Ví dụ 6: Đơn giản biểu thức A = a . 3 a 6 ( a  0 ) ta được:A. A = a2 + 32B. A = a2 + 33C. A = a5 + 33( )3+ 2 2Ví dụ 7: Đơn giản biểu thức A = a 2A. A = a3−B. A = a3−22.a1− 2 .a −4−2( a  0)C. A = a3+2ta được:D. A = a 2−222Lời giảia− a22).a−1− 2 2. ta được:C. A = a −1aD. A = a 2 − aLời giảiTaA=có:(a− a221a − a −1 = a − .aChọn A.Ví dụ 9: Đơn giản biểu thức A = 3 a 35A. A = a 65B. A = a 181a 3 ta được:2a55C. A = a 9D. A = a 16218Chọn B.1b b   12b2+ :a −bVí dụ 10: Đơn giản biểu thức A = 1 − 2a a  2( a; b  0 )ta được:Trang 5 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải−1− 2 2A. A = a − b a− b=  :a)(1a − b2 = .aChọn C.Với bài toán này các em vẫn có thể sử dụng CASIO bằng cách cho a = 4; b = 9 và thử đáp án.1Thay a = 4; b = 9 ta được A = .4Chọn C.Ví dụ 11: Đơn giản biểu thức A =−111ab−2 .Lời giảiTa có: A =(ab−2 . ab2)32=22 3( ab )−2323ab .a .b23a .b431116= a .b−13Chọn A a5 Ví dụ 12: Đơn giản biểu thức A =  5−2 bA. A = a3+25+ 2.a−2− 5b−1a=a5+ 2 5 .b2+ 5b.a= a3+5Chọn DVí dụ 13: Đơn giản biểu thức: A =a13b+b613a+ b61113121312a6 + b6a6 + b6Chọn BVí dụ 14: Đơn giản biểu thức A =1373132D. A = a − b + 2Lời giải1Ta có: A =(a3 1 − a213−12) − b (1 − b ) = 1 + a −a (1 − a)b−122( b + 1)4b −b14ta được:C. A = a2 − a − bB. A = a2 + a − bD. A = − ( a + b)Lời giải−1Ta có: A =(a 2 1 + a3−11)+ (a 2 (1 + a)33a − b  a + b + ab (3(A. A =a+ ba− bB. A =a− ba+ b3))C. A = 1()3()( a) + ( b)( a) − ( b)33333333=+ 9x+1xA. A = 39B. A = 25C. A =812D. A =452Lời giảiTa có : A = 3x+1.12 x +13( )+ 9x.9 = 3− x+ 2 + 9. 3x5B. A =3132x 2 − x+ 2. +4 3C. A = 6D. A =14125Lời giải 3Ta có: A =   2xxTa có: A = ( 23.3) + ( 2.3) + ( 32 ) = 23x.3x + 2x.3x + 32 x = a3b + ab + b2xxxChọn A(Ví dụ 21: Cho)(x2 + 1 = 3 . hãy tính giá trị của biểu thức A =A. A = 18B. A = 0C. A =) + (3 + 2 2 )2 −1) (2 − 1 = 1; 3 + 2 2 =)2 +1−1 2 x+()x2 +1  =2)2 +1A. T = 14B. T =474C. T = 118D. T = 6Lời giảiTa có: T = ( 5x ) −252547+ 5x = 16 −+2=x4452Chọn BVí dụ 23: Cho a = 2x ; b = 5x . Hãy biểu diễn T = 20x + 50x theo a và bA. T = ab( a + b)C. a  b  1D. b  a  1Lời giảiTa có: − 3  − 2 nên a−3 a− 2  0  a  1Trang 9 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giảiMặt khác ax  bx  a  b do vậy 1  a  b  0Chọn A−3−4Ví dụ 25: Cho ( a − 1) 4  ( a − 1) 5 vàA. a; b  1b3  3 b2 . Khẳng định nào sau đây là đúngB. 0  a  2; b  1C. 0  a  2; b  1D. a  2; b  1)2 +1()(2 −1 x2 + 1x2 +12016)1− x2() ()(2 −12 −1)2 +1x2 +11− x2()2 +1)1− x22−1 1− x− 2. Khẳng định nào dưới đây làđúng?A. 2  a  b  3B. 2  b  a  3C. b  a  3D. a  b  3Lời giảiTa có: ( a − 2)2( a − 2)  ( a − 2)3233 ( a − 2) 2  0  a − 2  1  do 2  4a−4ba − 4 ab−4ta được:C. T = 4 a + 4 bB. T = 4 bA. T = 4 aa−4bD. T = 0Lời giải( a) − ( b)Ta có: T =24a+ 4b−4a = 4bChọn BTrang 11 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giảiCHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ LŨY THỪAI. LÝ THUYÉT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI1. Định nghĩa hàm số lũy thừa+ Hàm sô y = xa , với a  R , được gọi là hàm số lũy thừa.2. Tập xác định+ Hàm số y = xa , với a nguyên dương, xác định với  x R+ Hàm sô y = xa , với a nguyên âm hoặc a = 0 xác định với   0 .+ Hàm số y = xa , với a không nguyên, có tập xác định là tập các số thực dương.Lưu ý. Hàm số lũy thừa liên tục trên tập xác định của nó.1Theo định nghĩa, đẳng thứcnx = x n chỉ xảy ra nếu x  0 .1nDo đó, hàm số y = x không đồng nhất với hàm số y = n x ( n  N * )Chẳng hạn, hàm số y = 3 x là hàm số căn bậc ba, xác định với  x R còn hàm1n(Với  x  J )Trang 12 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải4. Vài nét về sự biến thiên về đồ thị của hàm số lũy thừaTrong mục này, ta chỉ xét các hàm số lũy thừa dạng y = x với   0 và với tập xác định là( 0; + )+ Hàm số y = x đồng biến trên khoảng ( 0; + ) nếu   0+ Hàm số y = x nghịch biến trên khoảng ( 0; + ) nếu   0+ Đồ thị hàm số y = x luôn đi qua điểm (1;1)II. VÍ DỤ MINH HỌAVí dụ 1: Tìm tập xác định D của hàm số y = ( x 2 − 3x + 2 ) .100A. D = 1; 2B. D =  2; + )  ( −;1C. D =D. D = (1; 2)Lời giải:Hàm số y = x với  nguyên dương, xác định với x Do đó hàm số y = ( x 2 − 3x + 2 )xác định x3 − 8  0  x3  8  x  2 .Chọn B.Ví dụ 3 : Tìm tập xác định D của hàm số y = ( x3 − 8 )0\ 2A. D = ( 2; + )B. D =C. D = ( −;2)D. D = ( −2; + )  ( −;2)Trang 13 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giảiLời giải:Hàm số y = x với  = 0 xác định với x  0 .Hàm số y = ( x3 − 8 ) xác định  x3 − 8  0  x3  8  x  2 .0Chọn B.1Ví dụ 4: Tìm tập xác định D của hàm số y = ( x 2 − 6 x + 8)100C. D = ( 4; + )  ( −;2)D. D =  2;4Lời giải:Hàm số y = x với  không nguyên , có tập xác định là tập số thực dương.(Hàm số y = x2 − 6 x + 8)2x  4 Đáp án C đúngxác định x 2 − 6 x + 8  0  x  2Chọn C.Ví dụ 6: Tính đạo hàm của hàm số y = ( x 4 + 1)10A. y ' = 40 x3 ( x 4 + 1)9B. y ' = 10( x + 1)10 −1.4 x3 = 40 x3 ( x 4 + 1)9Chọn A.Trang 14 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải11Ví dụ 7: Tính đạo hàm của hàm số y = ( x − 4 x + 10)211B. y = ( 2 x − 4 ) ( x 2 − 4 x + 10 ) 4A. y ' = ( x 2 − 4 x + 10 ) 4C. y ' =1414 ( x 2 − 4 x + 10 )Chọn D.Ví dụ 8: Tính đạo hàm của hàm số y = 3x 2 − 2 x + 1A. y ' =12 3x − 2 x + 12B. y ' =1C. y ' =3x − 2 x + 126x − 23x − 2 x + 12D. y ' =3x − 13x 2 − 2 x + 1Lời giải:21  21+ 2A. y ' = 2 ( x4 + 1)B.44+ 1)1+ 21+ 21141+D. y ' = 3 ( x + 1) 24x11+ 2C. y ' = 4 2 x ( x + 1)3x2 + 2B. y ' =2x2 y3 ( x2 + 2)2C. y ' = −1y3 ( x2 + 2)2D. y ' = −x2 y3 ( x2 + 2)Lời giải:11= 2 .224 x +2x +2 x + 2  2 ( x2 + 2)1 x2 + 1  2 x +23−4.x2 ( x2 + 2)2=4 x ln ( x 2 + 1)3 y 2 ( x 2 + 1)D. y ' =2ln ( x 2 + 1)3 y 2 ( x 2 + 1)Lời giải:Ta có ln2(x2+ 1) + 2  0, x (1 y ' = ln 2 ( x 2 + 1) + 234.32(132x4.2ln ( x + 1) . 2= ln 2 ( x 2 + 1) + 2x +1 3x ln ( x 2 + 1)x2 + 12)−23.x ln ( x 2 + 1)x2 + 1Để tính biểu thức a = b ? Ta đi trả lời câu hỏi a mũ bao nhiêu thì bằng b. (a ? = b)Do vậy log2 4 = 2,log 2 8 = 3;log 2 4 = 4... Các bạn tính các giá trị còn lại nhé!Chú ý: +) Khi a = 10 là cơ số thập phân ta ký hiệu: log x ( log x được hiểu là log10 x ).Đọc là Lốc x.+) Khi a = e  2, 712818 là cơ số tự nhiên ta kí hiệu: ln x . Đọc là len x hoặc log nepe của x ( ln xđược hiểu là ln e x ).2. Các công thức Logarit cần nhớ.Công thức 1: log a a x = x, (x  R;1  a  0) .Công thức 2: a loga x = x( x  0;1  a  0) .Chứng minh: Ta có: log a x = log a x  x = a loga x 3Công thức 3: +) loga x + loga y = loga ( xy )+) log a x − log a y = log ax( x; y  0;1  a  0 )yChứng minh: Ta có:x = a loga x ; y = a loga y  xy = a loga x + loga y  log a ( xy ) = log a a alog a x +log a yloga ( xy ) = loga x + loga yCông thức 4: log a b n = n.log a b;log an b =1log a b(a, b  0; a  1)nC. log 4 a 2 = −1D. log3 a = −0,3Hướng dẫn: Chọn B.Ta có log 3 a =   a = 3  1Ví dụ 2: Trong các số a thoả mãn điều kiện dưới đây. Số nào nhỏ hơn 1.A. log 1 a = −2B. log a 5 = 2C. log3 5 = aD. log 1 a = 233Hướng dẫn: Chọn D.2Ta có log 13 1  1a=2a= = 1 3 39Ta có log a a a a3 = log a a a.a 2 = log a a a 2 = log a a.a 4 = log a a 4 = log a a 8 =9Cách 2: Cho a = 2 . Nhập vào máy tính log 2  2 2 23  = ta được kết quả bằng8Trang 18 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải98Ví dụ 4: Giá trị của biểu thức A = log aA. A =14B. A =a3(1  a  0 ) là:a4 a= log alog a a 2  4  =14a aa.a 4 23 1Cách 2: Cho a = 2 nhập vào máy tính log 2  4  = ta được A =2 24()Ví dụ 5: Giá trị của biểu thức A = log a a3 a 5 a (1  a  0 ) là:A. A =175B. A =3710B. A =y y 3 = b ( với x; y  0; y  1 ). Vậy A = a + b bằng32C. A =158D. A =178Hướng dẫn: Chọn D.3Ta có:77x x x = x x 2 = x.x 4 = x 8  a =7.4C. A = 3D. A =73Hướng dẫn: Chọn A.Trang 19 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải4Ta có:71313x x 3 x 4 = x x.x 3 = x x 6 = x 6 = x12  m =Lại có log y3y62312(Ví dụ 8: Thu gọn biểu thức A = a3 a)loga b+( )3(1  a; b  0)ta được:C. A = a 2 + 3 b7B. A = a3 + 7 b2A. A = a7 + 3 b2logb a 2+ b3  (+ b b=b)logb a 2727log a a 2+alogb b 32= b2 + a3log a b2+  b.b 12logb a 2 = a  52log a b2 32 + b  logb a 25= (b )logb a(1  a; b  0) ta được:445C. A = a 3 + b 8B. A = a 4 + b 3A. A = a 8 + b 3)4Hướng dẫn: Chọn C. 5Ta có: A =  a 4  log a b 4+ b3  C. P = 315D. A = a 3 + b 2D. P = 30Trang 20 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giảiHướng dẫn: Chọn B.Ta có: P = log a ( b 2c3 ) = 2 log a b + 3log a c = 13Ví dụ 12: Cho log3 x = 4log3 a + 2log3 b ( a; b  0) . Khi đóA. x = 8abC. x = a 2bB. x = a 4 + b 2D. x = a 4b 2Hướng dẫn: Chọn D.log 3 x = 4 log 3 a + 2 log 3 b = log 3 a 4 + log 3 b 2 = log 3 a 4b 2Do vậy x = a 4b 2b32= log 1 a + log 1b b3334bb= log 1 a + log 1 b3231431D. x = −10abC. x = a 3 .b 2Hướng dẫn: Chọn B.Ta có: log 4 x = 2log 2 3 a 2 + 3log 243Do đó x = a .b1b2 b4−152−152Ví dụ 15: Rút gọ biểu thức A = log 2 a + log 4A. A =−52Trang 21 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giảiTa có: A = log 2A=1a + log 4 2 − loga12a = log 2 a + log 22 a −2 − log 1 a 882221−33log 2 a − log 2 a − 16 log 2 a =log 2 a22Ví dụ 16: Rút gọn biểu thức A = log 4 a − log8 a + log16 a 2 (a  0) ta được:A. A = log 2 aCho log 2 x = 2 . Tính giá trị của biểu thức A = log 2 x 2 + log 1 x 3 + log 4 x2C. A =B. A = −2 2A. A = − 2− 22D. A =− 24Hướng dẫn: Chọn C.112Ta có A = log 2 x 2 + log 1 x 3 + log 4 x = 2 log 2 x − 3log 2 x + log 2 x = − log 2 x = −2222Vậy A =− 2Mặt khác A = log 4 x − 2log 2 x = log 22 x − 2log 2 x 2 = log 2 x − log 2 x = log 2 x =226Câu 19: Rút gọn biểu thức A = log8 x x − log 1 x 2 ( x  0) ta được:43A. A = log 2 x21B. A = − log 2 x2C. A = 2log 2 x2D. A = log 2 x3Trang 22 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giảiHướng dẫn: Chọn A.31 33A = log 23 x 2 − log 2−2 x 2 = . log 2 x + log 2 x = log 2 xB. B =−13 312816D. −9 3C. 9 3Hướng dẫn: Chọn B.(Ta có: A = 3log3 x − log3 x + log3 x = 3log3 x = 3 1 + 2)Ví dụ 22: Cho log3 x = 1 + 2 . Tính giá trị biểu thức: A = log 3 x3 + log 1 x + log 9 x 23(A. A = 2 1 + 2))a 3 (1  a; b  0 )C. 18D.12D.43Hướng dẫn: Chọn A.Ta có: P = log a b−3 .log 1 a3 = −3log a b.6logb a = −18b2Ví dụ 24: Tính giá trị của biểu thức P = log a b3 .log b a (1  a, b  0 )A. 3B. 12C.3417Ta có: T = ln(ex) − 2 − ln x + ln ( ex 2 ) = (1 + ln x ) − 2 + ln x + 1 + 2 ln x = ln x = 722x2+ ln 2.log 2 ( x3 .e2 )Ví dụ 26: Cho ln x = 3 . Tính giá trị của biểu thức T = 2lneB. T = 15A. T = 16C. T =272D. T = 22Hướng dẫn: Chọn D.()Ta có: T = 2 ln x 2 − ln e + ln ( x3e2 ) = 4ln x − 1 + 3ln x + 2 = 7 ln x + 1 = 22Ví dụ 27: Cho log a b = 3;log a c = −2 . Tính giá trị của log a x , biết rằng x =A. log a x = 16Ví dụ 28: Cho log a b = 2;log a c = 3 . Tính giá trị của biểu thức log a x , biết rằng x =B. log a x = −4A. log a x = −6C. log a x = −2a b3c2D. log a x = −1Hướng dẫn: Chọn C.Ta có: log a x = log a3a b332=loga+logb− log a c 2 = 1 + log a b − 2log a caa2B. 2 log a b + 3log a c = log a ( b 2c 3 )C. logb c + log a b = log a cD. log b c =log a clog a bHướng dẫn: Chọn A.Ta chỉ có logc a + logc b = logc ( ab )( c  1)Ví dụ 3: Cho các số dương a  b  0 ( a  1) . Khẳng định nào dưới đây là sai.A. log a ( a 2 − b 2 ) = log a ( a − b ) + log a ( a + b )B. log a ( a 2b 2 ) = 2 + 2 log a bC. log a ( a + b ) = 2(1 + log a b)D. log a2 ab =21(1 + log a b )4Hướng dẫn: Chọn C.log a ( a + b ) = 2 log a ( a + b )  2 (1 + log a b )2ab =1(1 + 2 log a b )4aHướng dẫn: Chọn D.Ta có: loga( a b ) = logaa + logab = 2 + log a bVí dụ 5: Cho các số dương a; b  0 (a  1) . Khẳng định nào dưới đây là sai.A. 3log a b = b log a 3B. a log a ab = abC. alog