采用频域响应方法来设计控制器可能不如之前研究的其他方法直观。但是，它具有某些优势，尤其是在实际情况下，例如根据实测数据来对系统进行建模的时候。在本教程中，我们将看到如何使用系统的开环频率响应来预测其闭环时间响应。 本教程中使用的主要MATLAB命令为：

在介绍篇：系统分析博文中已经了解，系统的频率响应是指在正弦输入下，评估系统输出对于正弦输入的缩放和平移的表现。正弦输出的缩放和平移随频率变化的方式提供了有关系统时间响应的有用信息，特别地，将系统的频率响应用于确定系统的“鲁棒性”。例如，系统离不稳定有多近？在这里，我们使用增益裕度和相位裕度这两个量来表示系统在不稳定之前具有的裕度。 考虑以下通用的反馈系统： 其中 K K K 是可变增益，而 G ( s ) G(s) G(s) 是被控对象。增益裕度定义为使闭环系统不稳定所需的开环增益的变化。增益裕度更高的系统在闭环不稳定之前，可以承受较大的系统参数变化。 相位裕度定义为使闭环系统不稳定所需的开环相移变化。相位裕度还可以测量系统对时间延迟的容忍度。如果环路中的时间延迟大于 P M / ω g c PM/\omega_{gc} PM/ωgc​ (其中 ω g c \omega_{gc} ωgc​ 是 rad/sec为单位， P M PM PM 是增益为0时对应的相位欲度，转换成弧度)，则闭环系统将变得不稳定。时间延迟 τ d \tau_d τd​ 可以看作是框图前馈路径中的一个额外模块，它会给系统增加相位滞后，但对增益没有影响，也就是说，时间延迟可以表示为大小为1且相位为 − ω τ d -\omega\tau_d −ωτd​ 的模块。 现在，我们将不关心这些延迟来源于哪里，而仅考虑伯德图上的增益和相位裕度。 闭环系统的相位裕度是开环系统的相位在开环系统幅度为0dB的频率下达到 − 180 ° -180° −180° 所需的额外相位滞后量(增益穿越频率 ω g c \omega_{gc} ωgc​)。同样，增益裕度是开环系统的相位等于 − 180 ° -180° −180° 所需的额外增益裕量(通常以dB为单位)(相位穿越频率 ω p c \omega_{pc} ωpc​)。 关于相位裕量的一个优势时，在更改环路增益时，无需重新绘制伯德图就可以找到新的相位裕量。如果您还记得，增加增益只会使幅度向上(或向下)移动。这等效与更改幅度图上的y轴。找到相位裕度仅是找到新的增益交叉频率并读取相位裕度的问题。例如，假设您使用以下命令来生成如下所示的伯德图：

您可以看到相位裕度约为100度，现在，假设您通过输入命令bode(100*G)增加了100的增益。您可以得到以下：

如图所示，相位图和之前完全一样，并且幅度图向上移动了40dB(增益为100)。现在相位裕度约为-60度。如果幅度图的y轴向下移动40dB，则可以得到相同的结果，这样操作的话，查看第一张伯德图，找到曲线与-40dB相交的位置，然后读出相位裕度，它应约为-60度，与第二个伯德图相同。 我们可以让MATLAB使用margin(G)命令计算并显示增益和相位裕度，该命令返回增益和相位裕度，增益和相位穿越频率，以及这些量在伯德图上的位置，参考以下示例：

带宽频率定义为闭环响应的幅度相比于直流幅度(频率接近0的幅度)下降3dB时对应的频率。通常，我们在对频率响应进行系统设计时，我们是希望根据开环响应来预测其闭环响应，这里我们将使用二阶系统来等效闭环。有些教科书上描述带宽等于开环响应幅度在-6到-7.5dB之间的频率，相位在-135°到-225°之间。 为了说明带宽频率的重要性，这里将显示输出如何随不同的输入频率而变化。可以看到，频率小于 ω b w \omega_{bw} ωbw​（带宽频率）的正弦输入会被系统良好地跟踪。频率大于 ω b w \omega_{bw} ωbw​ 的正弦输入被衰减(幅度)达到0.707或更大(并且也发生了相移)。 假设我们有以下表示系统的闭环传递函数：

由于这是闭环传递函数，因此我们的带宽频率将是增益对应于-3dB的频率，从图中可以得到它约为1.4rad/s，我们还可以从图中得知，对于0.3rad的输入频率，输出正弦波的幅值应约为1，相位偏移几度(在输入之后)。对于3rad/s的输入频率，输出幅度应约为-20dB(或输入的1/10)，相位应接近-180(几乎完全反相)。我们可以使用lsim命令来模拟系统对正弦输入的响应。 首先，考虑一个频率低于 ω b w \omega_{bw} ωbw​ 的正弦输入，这里还要好注意，我们关心的是稳态响应，因此，我们调整横坐标来让稳态响应更加直观(忽略瞬时相应)。

注意，输出(蓝色)很好地跟踪了输入(红色)。它可能比输入延迟约几度，但是如果将输入的频率设置为高于系统的带宽频率，则会得到非常失真的响应(相对于输入)：

同样，正如预期的那样，幅度大约是输入幅度的1/10，并且几乎和输入相位完全相反(相差180°)。

奈奎斯特图使我们能够通过观察开环表现来预测闭环系统的稳定性和性能。无论开环稳定性如何，都可以将Nyquist准则用于设计目的(而伯德图设计方法假设系统在开环中是稳定的)。因此，当伯德图显示令人困惑的信息时，我们使用Nyquist准则来确定系统闭环稳定性。 注意：对于虚轴上具有开环极点或者零点的系统，MATLAB nyquist命令不能提供良好的显示，因此，建议您使用nyquist1.m，该文件可以正确处理虚轴上的极点和零点。 那奎斯特图基本上是 G ( j ω ) G(j\omega) G(jω) 的图，其中 G ( s ) G(s) G(s) 是开环传递函数， ω \omega ω 是频率，包围整个右半平面。在绘制奈奎斯特图时，要同时考虑正频率(从0到无穷大)和负频率(从负无穷大到0)，我们将以红色表示正频率，以绿色表示负频率。绘制奈奎斯特图时使用的频率通常如下所示(如果您可以想象该图延伸到无穷远)： 但是，如果我们在虚轴上有开环极点或者零点，则不会再这些点处定义 G ( s ) G(s) G(s) ，并且在绘制轮廓时必须在他们周围画圈。轮廓示例如下所示： 请注意，轮廓围绕虚轴上的极点画圈，如前所述，MATLAB nyquist命令没有考虑虚轴上的极点或零点，因此会产生错误的绘图。要更正该问题，请下载并使用nyquist1.m，如果在虚轴上有一个极点，则必须使用nyquist1。如果虚轴上没有极点或零点，或者我们有零极点对消，则可以使用nyquist命令或者nyquist1命令

在研究反馈控制时，我们对 G ( s ) G(s) G(s)并不那么感兴趣，而是更关注闭环传递函数。 如果 1 + G ( s ) 1+G(s) 1+G(s)过原点，则 G ( s ) G(s) G(s)将过点-1，因此，奈奎斯特图在实轴上-1点附近的表现非常重要。但是，标准奈奎斯特图上的轴可能很难看清这一点，若要更正该问题，可以使用lnyquist.m函数。 使用MATLAB查看简单的Nyquist图，我们将定义一下传递：

现在我们来看一下以下传递函数的奈奎斯特图： 请注意，该传递函数在原点处有一个极点，我们将看到使用nyquist和nyquist1命令之间的区别。

注意，标准奈奎斯特图不正确，特别地，对于半径接近无穷大( s s s接近0)的情况，它无法捕获奈奎斯特图的行为。nyquist1图是正确的，这使我们可以评估-1点的周围并应用Nyquist准则，但是很难看到在-1点附近发生了什么，lnyquist函数采用修改后的比例，该比例在-1点附近保持绘图的正确性，并保持正确的形状。

为了从开环频率响应预测闭环性能，我们需要做一些假设：

解决此问题的方法有两种：一种是画图，另一种是计算，在MATLAB中，画图是比较好的，所有我们采用这个。首先让我们看一下伯德图。

可以从该伯德图中直接读取几个特性，首先，我们可以看到带宽频率约为10rad/s。由于带宽频率与自然频率大致相同(对于此类一阶系统)，因此上升时间约为 1.8 / B W = 1.8 / 10 = 0.18 1.8/BW = 1.8/10 = 0.18 1.8/BW=1.8/10=0.18秒。这是一个粗略的估计，我们可以说上升时间约为0.2s。 该系统的相位裕度约为95度，阻尼比 = P M / 100 =PM/100 =PM/100的关系仅在 P M < 60 PM