点云的基本特征和描述，PCA主成分分析

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点云的基本特征和描述，PCA主成分分析

2024-03-27 13:21| 来源: 网络整理| 查看: 265

文章目录一、点云特征的基本要求二、点云特征的分类三、点云的基本特征描述四、PCA（Princile Components Analysis）主成分分析4.1 谱定理（Spectral Theorem）4.2 Rayleigh Quotients4.3 SVD分解的物理意义4.4 点云的PCA步骤4.5 应用：PCA – Dimensionality Reduction 打赏支付宝微信

一、点云特征的基本要求

在这里插入图片描述 http://www.pointclouds.org/documentation/tutorials/

二、点云特征的分类

在这里插入图片描述 https://blog.csdn.net/shaozhenghan/article/details/81346585

三、点云的基本特征描述二维情况在这里插入图片描述

三维情况

四、PCA（Princile Components Analysis）主成分分析 4.1 谱定理（Spectral Theorem）

在这里插入图片描述

4.2 Rayleigh Quotients

在这里插入图片描述

4.3 SVD分解的物理意义

在这里插入图片描述矩阵M经过SVD分解，分解成两个正交矩阵UV和对角阵 σ \sigma σ,因此一个高维向量乘以M矩阵就相当于对向量在高维空间进行了旋转和拉伸。

在这里插入图片描述

使用的核心算法是矩阵的特征值分解。基于矩阵特征值或者SVD分解求: 法向量方向对应(等效)椭球体的最短轴方向对应点云坐标的协方差矩阵的最小特征值对应的特征向量

在这里插入图片描述

数据集在某个基上的投影值(也是在这个基上的坐标值)越分散，方差越大，这个基保留的信息也就越多信息量保存能力最大的基向量一定是的协方差矩阵的特征向量,并且这个特征向量保存的信息量就是它对应的特征值. 4.4 点云的PCA步骤找到点 x i x_i xi周围半径 R R R范围内的所有点 X X X,计算均值： x ˉ = 1 n ∑ i = 1 N x i \bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{N} x_{i} xˉ=n1i=1∑Nxi计算样本方差： S 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) 2 S^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2} S2=n−11i=1∑n(xi−xˉ)2计算样本协方差：

Cov ⁡ ( X , X ) = E [ ( X − E ( X ) ) T ( X − E ( X ) ) ] = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) T ( x i − x ˉ ) ) \begin{array}{l} \operatorname{Cov}(X, X)=E[(X-E(X))^T(X-E(X))] \\ \quad=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^T(x_i-\bar{x}))\end{array} Cov(X,X)=E[(X−E(X))T(X−E(X))]=n−11∑i=1n(xi−xˉ)T(xi−xˉ))

计算协方差矩阵： 1 n ( X − x ˉ ) T ( X − x ˉ ) \frac{1}{n}(X-\bar{x})^T(X-\bar{x}) n1(X−xˉ)T(X−xˉ)

特征分解： V ( λ 1 λ 2 λ 3 ) V T V\left(\begin{array}{ccc} \lambda_{1} & \\ & \lambda_{2} & \\ && \lambda_{3} \end{array}\right) V^{T} V⎝⎛λ1λ2λ3⎠⎞VT λ 1 ≥ λ 2 ≥ λ 3 ≥ 0 \lambda_{1} \geq \lambda_{2} \geq \lambda_{3} \geq 0 λ1≥λ2≥λ3≥0 在这里插入图片描述

4.5 应用：PCA – Dimensionality Reduction

在这里插入图片描述

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