期待値と分散に関する公式一覧の公式8： V[X]=E[X2]−E[X]2V[X]=E[X^2]-E[X]^2V[X]=E[X2]−E[X]2 を用いて分散を計算します。 E[X]E[X]E[X] はさきほど求めたので， E[X2]E[X^2]E[X2] を同様に求めればOKです。

（分散の証明2）

E[X2]=∑k=0nk2P(X=k)=∑k=1nk(k−1)nCkpkqn−k+∑k=1nknCkpkqn−k=n(n−1)∑k=2nn−2Ck−2pkqn−k+E[X]=n(n−1)p2∑k=2nn−2Ck−2pk−2qn−k+np=n(n−1)p2∑k=0n−2n−2Ckpkqn−k−2+np=n(n−1)p2(p+q)n−2+np=n(n−1)p2+npE[X^2]=\displaystyle\sum_{k=0}^nk^2P(X=k)\\ =\displaystyle\sum_{k=1}^nk(k-1){}_n\mathrm{C}_kp^kq^{n-k}+\sum_{k=1}^nk{}_n\mathrm{C}_kp^kq^{n-k}\\ =n(n-1)\displaystyle\sum_{k=2}^n{}_{n-2}\mathrm{C}_{k-2}p^kq^{n-k}+E[X]\\ =n(n-1)p^2\displaystyle\sum_{k=2}^n{}_{n-2}\mathrm{C}_{k-2}p^{k-2}q^{n-k}+np\\ =n(n-1)p^2\displaystyle\sum_{k=0}^{n-2}{}_{n-2}\mathrm{C}_{k}p^{k}q^{n-k-2}+np\\ =n(n-1)p^2(p+q)^{n-2}+np\\ =n(n-1)p^2+npE[X2]=k=0∑n​k2P(X=k)=k=1∑n​k(k−1)n​Ck​pkqn−k+k=1∑n​kn​Ck​pkqn−k=n(n−1)k=2∑n​n−2​Ck−2​pkqn−k+E[X]=n(n−1)p2k=2∑n​n−2​Ck−2​pk−2qn−k+np=n(n−1)p2k=0∑n−2​n−2​Ck​pkqn−k−2+np=n(n−1)p2(p+q)n−2+np=n(n−1)p2+np

よって， V[X]=E[X2]−E[X]2=np−np2=npqV[X]=E[X^2]-E[X]^2=np-np^2=npqV[X]=E[X2]−E[X]2=np−np2=npq

なお，モーメント母関数を用いる方法もあります。 →モーメント母関数（積率母関数）の意味と具体例

成功確率が1割でも（独立なら）10回やれば1回くらい成功します。下手な鉄砲も数打ちゃ当たる。

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