群的阶与元素的阶

摘要：讨论群的阶、元素的阶及两者之间的关系，给出一些有意

义的结果。

关键词：群的阶；元素的阶；同态；同构；元素

基金项目：宝鸡文理学院科研计划项目（

zk0788

）

群是一种特殊的代数系统，

它在数学本身以及现代科学技术的很多

方面都有广泛的应用。而群的阶和元素的阶是群的重要特征之一，

本文着重介绍群的阶与元素的阶的有关概念及相关结果。

一、群的阶

定义：一个群叫做有限群

,

假如这个群的元的个数是一个有限的正

整数。不然的话，这个群叫做无限群。一个有限群的元的个数叫做

这个群的阶，记为

g

。

结论

1. 

（

1

）群的阶为

1?

圳

g=e

。

（

2

）群的阶为

2?

圳

g=e

，

a

且

a

≠

e

。

（

3

）群的阶为

3?

圳

g=e

，

a

，

a2

且

a

≠

e

，

a

≠

a2

。

结论

2. 4

阶群

g

必为交换群，而且就同构意义而言，有且仅有两

种类型。

（

1

）

g=

〈

a

〉

，

a

的阶是

4

。

（

2

）

g=e

，

a

，

b

，

c

，

ea=a

，

eb=b

，

ec=c

，

ab=c

，

ac=b

，

bc=a

。

结论

3. 6

阶群有且仅有两种类型。

（

1

）

g

是交换群，

g=

〈

a

〉

，

a

的阶为

6

。

（

2

）

g

是非交换群，

g=e

，

a

，

a2

，

c

，

ca

，

ca2=

〈

a

，

c

〉

，且

a3=c2=