还是齐开悦博士的视频，不过这次没看完就自己看着书总结了（还是觉得看书更加高效率）。

重新提一下，一定要把课本的例题过一遍，因为例题有很详细的解析（孙国霞的书的话比较少资料，贫僧觉得还是看吴大正的比较好，至少课后习题有答案解析，这样可以多很多习题来练手。现在流的汗都是当初买错书脑子进的水。。。），而且做完之后可以看得出自己那一步想漏了或者想错了，所以无论如何都要过一遍。

首先复习一下前面讲的拉氏变换： 拉氏变换比傅里叶变换的适用范围更加广泛，但是还是被收敛域限制住了（而傅里叶的限制是被积函数绝对可积）。为了保证能够积分出答案，所以要对 σ \sigma σ有限制，这就是收敛域。 ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − σ t e − j ω t d t \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-\sigma t}e^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t ∫−∞+∞​f(t)e−σte−jωtdt 所以每次答题的时候一定要加上对应的收敛域，不然公式没意义（可能结果不成立）。 比较有用的是单边，因为可以用来算零状态和零输入。 要记清楚正负号对收敛域的影响（例如 e − a t u ( t ) → 1 s + a e^{-at}\mathrm{u}(t) \rightarrow \frac{1}{s + a} e−atu(t)→s+a1​的定义域是 R e [ s ] ; − a Re[s] ; -a Re[s]>−a，而 e a t u ( − t ) → − 1 s − a e^{at}\mathrm{u}(-t) \rightarrow -\frac{1}{s - a} eatu(−t)→−s−a1​但是定义域方向是翻过来的 R e [ s ] ; + a Re[s] ; +a Re[s]0， F 1 ( s ) F_1(s) F1​(s)就是主周期的信号对应的拉氏变换结果。主要用在反变换，遇到要逆变换的函数的分母含有 1 − e − s T 1-e^{-sT} 1−e−sT的时候就可以直接推出对应的原函数（周期为T的周期信号）。

一定要记住定义，这样遇到问题的时候（例如欸欸欸为什么答案是这样，以及啊啊啊不记得公式了啊）就可以回到定义/原理来推导（推导过程也可以帮助记忆，理解其实就是记住原理和各个推导出来的公式之间的关系，理解越深就离定义越近）。

·连续信号 x ( t ) x(t) x(t)经过均匀冲激序列进行理想抽象后可以得到抽样信号 x s ( t ) x_s(t) xs​(t)：

x s ( t ) = x ( t ) σ T s ( t ) = x ( t ) ∑ n = − ∞ ∞ σ ( t − n T s ) = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n T s ) σ ( t − n T s ) x_s(t) = x(t) \sigma_{Ts}(t) = x(t)\sum_{n = -\infty}^{\infty}\sigma(t - nT_s) = \sum_{n = - \infty}^{\infty}x(nT_s)\sigma(t - nT_s) xs​(t)=x(t)σTs​(t)=x(t)n=−∞∑∞​σ(t−nTs​)=n=−∞∑∞​x(nTs​)σ(t−nTs​)

对等式两边同时取拉普拉斯变换：

X s ( s ) = ∫ − ∞ ∞ x s ( t ) e − s t d t = ∫ − ∞ ∞ e − s t ∑ n = − ∞ ∞ x ( n T s ) σ ( t − T s ) d t X_s(s) = \int_{-\infty}^{\infty}x_s(t)\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t = \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-st}\sum_{n = -\infty}^{\infty}x(nT_s)\sigma(t - T_s)\mathrm{d}t Xs​(s)=∫−∞∞​xs​(t)e−stdt=∫−∞∞​e−stn=−∞∑∞​x(nTs​)σ(t−Ts​)dt

上面这个式子要注意积分的对象是 t t t，不是 T s T_s Ts​，所以 x ( n T s ) x(nT_s) x(nTs​)不受积分影响（相当于是常数了）。然后再把积分和求和顺序调换，用冲激函数的抽样性质就可以得到下面这个公式：

X s ( s ) = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n T s ) e − s n T s X_s(s) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}x(nT_s)\mathrm{e}^{-snT_s} Xs​(s)=n=−∞∑∞​x(nTs​)e−snTs​

然后就像在拉普拉斯变换里面干的那样，用一个新的变量代替掉 x x x以外的东西：

z = e s T s z = \mathrm{e}^{sT_s} z=esTs​

就可以得到

X ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n T s ) z − n X(z) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}x(nT_s)z^{-n} X(z)=n=−∞∑∞​x(nTs​)z−n

这就是z变换，通常抽样的方式是均匀抽样，所以可以忽略掉 T s T_s Ts​：

X ( z ) ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) z − n X(z) \sum_{n = -\infty}^{\infty}x(n)z^{-n} X(z)n=−∞∑∞​x(n)z−n

这里的定义用到了冲激信号的采样特性，同时要注意的是 σ ( t ) \sigma(t) σ(t)无论在哪种变换里面变换的结果都是 1 1 1。 上面那种公式其实是双边z变换的定义式，如果是单边的话（现实中大部分都是单边的，所以这个定义式才有用）：

X ( z ) = ∑ n = 0 ∞ x ( n ) z − n X(z) = \sum_{n = 0}^{\infty}x(n)z^{-n} X(z)=n=0∑∞​x(n)z−n

因为定义的过程中用到了拉普拉斯变换，所以正变换和反变换可以表示成：

X ( z ) = L [ x ( n ) ] x ( n ) = L − 1 [ X ( z ) ] X(z) = L[x(n)]\\ x(n) = L^{-1}[X(z)] X(z)=L[x(n)]x(n)=L−1[X(z)]

大写的X就是变换之后的像函数，小写的x对应的是原函数。

所以这里也可以看出来某些拉普拉斯变换里面出现的解题方法也可以用在z变换这里，例如部分分式展开法（但是要对原函数 x ( n ) x(n) x(n)处理一下，下面会提到）。

从上面定义的公式里面可以看出来 z z z和 s s s之间有这样的关系：

z = e σ T s s = 1 T s l n z z = \mathrm{e}^{\sigma T_s}\quad s = \frac{1}{T_s}\mathrm{ln}z z=eσTs​s=Ts​1​lnz

将 s s s用直角坐标系来表示， z z z用极坐标系来进行表示，那么有 s = σ + j ω , z = ∣ z ∣ e j Ω s = \sigma + \mathrm{j}\omega, z = |z|\mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega} s=σ+jω,z=∣z∣ejΩ，那么：

z = e s T s = e ( σ + j ω ) T s z = \mathrm{e}^{sT_s} = \mathrm{e}^{(\sigma + \mathrm{j}\omega)T_s} z=esTs​=e(σ+jω)Ts​

因为 z = ∣ z ∣ e j Ω z = |z|\mathrm{e}^{\mathrm{j}\Omega} z=∣z∣ejΩ，所以： ∣ z ∣ = e σ T s Ω = ω T s = ω f s |z| = \mathrm{e}^{\sigma T_s} \\ \Omega = \omega T_s = \frac{\omega}{f_s} ∣z∣=eσTs​Ω=ωTs​=fs​ω​

上面表明了数字角频率 Ω \Omega Ω是模拟角频率 ω \omega ω关于采样频率 f s f_s fs​的归一化频率。

上面这两张图片来自这里。

这里的映射关系在后面学习《数字信号处理》的时候会用到，不过现在只需要了解下就行。

每一个 X ( z ) X(z) X(z)可能会对应多个 x ( n ) x(n) x(n)，所以需要指明收敛域来确定对应的是哪一个 x ( n ) x(n) x(n)，且只有指明了收敛域，才可以确保 X ( z ) X(z) X(z)收敛，使得公式有意义。

收敛域的特性：

上图来自孙国霞老师的《信号与系统》。

上图来自孙国霞老师的《信号与系统》。

反变换公式定义：

x ( n ) = 1 2 π j ∮ c X ( z ) z n − 1 d z x(n) = \frac{1}{2\pi \mathrm{j}}\oint_{c}X(z)z^{n-1}\mathrm{d}z x(n)=2πj1​∮c​X(z)zn−1dz

除非万不得已，通常不用定义式，而是：1. 长除法；2. 部分分式法（重点）

长除法很简单，直接给个例子自己体会：

部分分式法直接参考之前拉普拉斯变换里面的部分分式法，都是一样的，所以这里只给个例子。

其实这里和拉普拉斯解微分方程是差不多的，只是比较不同的是有时需要用到迭代法（即对原方程中 y ( n ) y(n) y(n)的 n n n代入需要的数字来求出对应时刻系统的输出）。这里给个例子（没有用到迭代法，因为题目已经给出了所有需要用到的 y ( n ) y(n) y(n)：

和之前拉普拉斯、傅里叶变换的系统函数定义是一样的。z变换中零状态响应等于激励与系统冲激响应（即输入为 δ ( n ) \delta(n) δ(n)，冲激函数，时系统的输出）的卷积和， y z s ( n ) = x ( n ) ∗ h ( n ) y_{zs}(n) = x(n) * h(n) yzs​(n)=x(n)∗h(n)， Y z s ( z ) = X ( z ) H ( z ) Y_{zs}(z) = X(z)H(z) Yzs​(z)=X(z)H(z)，这里的 H ( z ) H(z) H(z)就是离散系统的系统函数，定义为z域中零状态响应与激励的像函数的比值， H ( z ) = Y z s ( z ) X ( z ) H(z) = \frac{Y_{zs}(z)}{X(z)} H(z)=X(z)Yzs​(z)​。注意， H ( z ) H(z) H(z)只与系统特性相关，只要系统不变，系统函数就不会变（这点上3个变换都是这样）。

此外，解题的时候记得写这句话：在零状态条件下，对差分方程两边取单边z变换。不然可能会因为不严谨而失分，因为在使用系统函数的时候就已经架设了初始条件为0（即处于零状态）且激励函数为因果序列（看公式表，如果不是因果序列z变换之后的结果会有“小尾巴”）。

此外，因为系统本身的特性决定了系统函数，所以可以通过系统函数可以判断系统的特性：

《信号与系统》孙国霞（基本上这篇博文里面的公式都是从这里来的，但就算是这样，贫僧还是要说，用吴大正的吧。。。目前这本书还没有习题解析之类的辅导书，所以自学用的话会比较麻烦，网上又不一定能找得到答案） 《信号与线性系统分析（第 4 版）》吴大正（贫僧其实是拿这本书当参考书来用了，看上面那一本书看不懂的时候就会看下面这一本，因为上面那一本总结的挺好，但是不适合初学者。贫僧觉得想要找到比较详细的解析的话还是看吴大正这本比较好） 齐开悦博士的视频（超有用。。。然而并不能代替刷题，如果是要考试的话该刷的还要刷，如果只是自学的话还是挺推荐的） §4 Z 变换与拉氏变换的关系