定义

设 σ \sigma σ为数域 F F F上线性空间 V V V上的一个线性变换，一个非零向量 v ∈ V v\in V v∈V，如果存在一个 λ ∈ F \lambda \in F λ∈F使得 σ ( v ) = λ v \sigma(v)=\lambda v σ(v)=λv，则 λ \lambda λ称为 σ \sigma σ的特征值。 σ \sigma σ的特征值的集合称为 σ \sigma σ的谱。并称 v v v为 σ \sigma σ的属于（或对应于）特征值 λ \lambda λ的特征向量。

特征值和特征向量的求法

设 V V V是数域 F F F上的 n n n维线性空间， v 1 , ⋯   , v n v_1,\cdots,v_n v1​,⋯,vn​是 V V V的一组基，线性变换 σ \sigma σ在这组基下的矩阵为 A A A，如果 λ \lambda λ是 σ \sigma σ的特征值， α \alpha α是相应的特征向量。则 α = ( v 1 , ⋯   , v n ) ( x 1 ⋮ x n ) \alpha=(v_1,\cdots,v_n)\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix} α=(v1​,⋯,vn​) ​x1​⋮xn​​ ​ 将上式代入 σ ( v ) = λ v \sigma(v)=\lambda v σ(v)=λv得到 σ ( α ) = ( v 1 , ⋯   , v n ) A ( x 1 ⋮ x n ) λ α = λ ( v 1 , ⋯   , v n ) ( x 1 ⋮ x n ) \sigma(\alpha)=(v_1,\cdots,v_n)A\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}\\ \lambda \alpha=\lambda (v_1,\cdots,v_n)\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}\\ σ(α)=(v1​,⋯,vn​)A ​x1​⋮xn​​ ​λα=λ(v1​,⋯,vn​) ​x1​⋮xn​​ ​ 由于 v 1 , ⋯   , v n v_1,\cdots,v_n v1​,⋯,vn​线性无关，所以 A ( x 1 ⋮ x n ) = λ ( x 1 ⋮ x n ) A\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}=\lambda \begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix} A ​x1​⋮xn​​ ​=λ ​x1​⋮xn​​ ​ 则说明特征向量 α \alpha α的坐标 x = ( x 1 ⋮ x n ) x=\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix} x= ​x1​⋮xn​​ ​满足齐次线性方程组 ( λ I − A ) x = 0 (\lambda I-A)x=0 (λI−A)x=0。

因为 α ≠ 0 \alpha\neq 0 α=0，则 x ≠ 0 x\neq 0 x=0，即齐次线性方程组 ( λ I − A ) x = 0 (\lambda I-A)x=0 (λI−A)x=0有非零解。有非零解的充要条件是它的系数矩阵它的系数矩阵行列式 ∣ λ I − A ∣ = 0 |\lambda I-A|=0 ∣λI−A∣=0。

相关定义

设 A A A是数域 F F F上的 n n n阶矩阵， λ \lambda λ是一个符号，也是未知的特征值，矩阵 λ I − A \lambda I-A λI−A称为 A A A的特征矩阵，其行列式 ∣ λ I − A ∣ |\lambda I-A| ∣λI−A∣称为 A A A的特征多项式。方程 ∣ λ I − A ∣ = 0 |\lambda I-A|=0 ∣λI−A∣=0称为 A A A的特征方程，它的根（即 λ \lambda λ的值）称为 A A A的特征根（或特征值）。以 A A A的特征值 λ \lambda λ代入 A x = λ x Ax=\lambda x Ax=λx中所得到的非零解 x x x称为 A A A对应于 λ \lambda λ的特征向量。

定理

设 A A A为 n × n n\times n n×n矩阵， λ \lambda λ是一个数值，以下命题等价：

特征多项式的系数

如果 p ( λ ) = det ⁡ ( λ I − A ) = λ n + ∑ k = 1 n ( − 1 ) k c k λ n − k = λ n − c 1 λ n − 1 + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 c n − 1 λ + ( − 1 ) n c n p(\lambda)=\det(\lambda I-A)=\lambda^n+\sum_{\\k=1}^n(-1)^kc_k\lambda^{n-k}\\=\lambda ^n-c_1\lambda^{n-1}+\cdots+(-1)^{n-1}c_{n-1}\lambda+(-1)^nc_n p(λ)=det(λI−A)=λn+k=1∑n​(−1)kck​λn−k=λn−c1​λn−1+⋯+(−1)n−1cn−1​λ+(−1)ncn​ 则 c k ( 1 ≤ k ≤ n ) c_k(1\leq k\leq n) ck​(1≤k≤n)是所有 k k k阶主子式（选择 k k k行 k k k列形成的行列式）的和，特别的， c 1 = t r ( A ) , c n = det ⁡ ( A ) c_1=tr(A),c_n=\det(A) c1​=tr(A),cn​=det(A)。

定理

设 A ∈ C n × n A\in C^{n\times n} A∈Cn×n，如果 A A A有特征值 λ 1 , ⋯   , λ n \lambda_1,\cdots,\lambda_n λ1​,⋯,λn​，则 t r ( A ) = ∑ i = 1 n λ i , det ⁡ ( A ) = ∏ i = 1 n λ i tr(A)=\sum_{\\i=1}^n\lambda_i,\det(A)=\prod_{i=1}^n\lambda_i tr(A)=i=1∑n​λi​,det(A)=i=1∏n​λi​

如果 A A A相似 B B B，则两个矩阵有相同的特征值和特征多项式。

设 A ∈ C m × n A\in C^{m\times n} A∈Cm×n，则 A H A A^HA AHA和 A A H AA^H AAH特征值都是非负实数，且它们都有相同的非零特征值和相同的重数，并且非零特征值（包含重数）的数量等于 r a n k ( A ) rank(A) rank(A)。