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8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积教学设计课时教学内容本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课主要学习棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的表面积、体积公式及其求法，还有简单组合体的体积的求解。教材从分析简单几何体的侧面展开图得到了它们的表面积公式，体现了立体问题平面化的解决策略，这是本节课的灵魂，也是立体几何的灵魂，在立体几何中，要注意将立体问题转化为平面几何问题，在教学中应加以重视。课时教学目标1．通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式．2．能运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．教学重点、难点1.教学重点：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积；2.教学难点：求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．教学过程设计环节一 创设情境，引入课题【实际情境】在生产生活中，会遇到包装盒用纸量的计算问题用纸量的大小跟围成几何体各个面的面积密切相关．规定：多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和．【设计意图】表面积的求解不是凭空产生的，用包装盒用纸问题这一实例，让学生感受“求表面积”这样的问题是客观存在的，是源于实际生活的.【问题】：在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？【设计意图】通过复习回顾，让学生感受到求解表面积的转化思想，进而用于解决本节课的新问题情境。【探究】棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？【思考1】棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.棱柱、棱锥、棱台的表面积问题1．怎么求柱体、锥体、棱台的表面积？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．例1 如图8.3-1，四面体的各棱长均为，求它的表面积．分析：因为四面体的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍．解：因为是正三角形，其边长为，所以．因此，四面体的表面积．环节二 观察分析，感知概念棱柱、棱锥、棱台的体积问题2．柱体、锥体、棱台体的体积公式是什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。我们以前已经学习了特殊的棱柱——正方体、长方体的体积公式，它们分别是（是正方体的棱长），（，，分别是长方体的长、宽、高）．一般地，如果棱柱的底面积是，高是，那么这个棱柱的体积．棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离．环节三 抽象概括，形成概念如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍．因此，一般地，如果棱锥的底面面积为，高为，那么该棱锥的体积．棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离．由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式其中，分别为棱台的上、下底面面积，为棱台的高．棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离．环节四 辨析理解，深化概念【思考3】棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？【设计意图】通过初中正方体，长方体体积公式，归纳出求解棱柱的体积公式。然后将棱柱分解，进而求出棱锥的体积公式。接着将棱台看成大棱锥截取一个小棱锥，通过一些相似知识的应用，进而得出棱台的体积公式。过程中让学生体会化归的基本思想方法，并且在探究棱柱，棱锥，棱台的基础上，感受求解体积问题的一般方法。最后再从形和数的角度让学生感受棱柱，棱锥，棱台的结构特征及其联系。思考观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式，，，它们之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？环节五 概念应用，巩固内化例2 如图8.3-2，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m，公共面是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到0.01m3）？分析：漏斗由两个多面体组成，其容积就是两个多面体的体积和．解：由题意知，．所以这个漏斗的容积．环节六 归纳总结，反思提升（一）求几何体的表面积解题技巧（求多面体表面积注意事项）1．多面体的表面积转化为各面面积之和．2．解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决．（二）求几何体体积的常用方法解题技巧(求棱柱、棱锥、棱台体积的注意事项)1．常见的求几何体体积的方法①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．2．求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．【设计意图】让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧环节七 目标检测，作业布置完成教材：课本116页练习，第119页习题8.3第1、6题.练习（第116页）1．正六棱台的上、下底面边长分别是2cm和6cm，侧棱长是5cm，求它的表面积．解：如图，六棱台中，，，．侧面梯形的高为，，又，，正六棱台的表面积．答：正六棱台的表面积为．2．如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm的立方体，将其适当分割成棱长为1cm的小立方体．（1）共得到多少个棱长是1cm的小立方体？（2）三面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？（3）两面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？（4）一面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？（5）六个面均没有颜色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？它们占有多少立方厘米的空间？解：（1）共得到64个棱长为1cm的小立方体；（2）三面是红色的小立方体有8个，它们的表面积之和为48cm2；（3）两面是红色的小立方体有24个，它们的表面积之和为144cm2；（4）一面是红色的小立方体有24个，它们的表面积之和为144cm2；（5）六个面均没有颜色的小立方体有8个，它们的表面积之和为48cm2，它们占有8cm3的空间．3．某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的．如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的体积是多少？解：由题意知，正方体的体积，截去的每一个四面体都可以看成是底面为等腰直角三角形，且有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，石凳的体积答：石凳的体积是．4．求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积．证明：如图，因为直三棱柱的侧面都是矩形，则侧面的面积为底乘高，而高相等，所以要证任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积，只要证明三棱柱的底面上任意两边的和大于第三边即可，而这可由三角形的两边之和大于第三边得到，从而得证．

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