第2讲 间接效用函数与支出函数 |
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第2讲 间接效用函数与支出函数
1.设一个消费者的直接效用函数为 解:(1)①当 构造拉格朗日函数:
从①式和②式中消去
再把④式代入③式中得:
从而解得马歇尔需求函数为:
由⑤式可知:当 将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数: ②当 从而解得马歇尔需求函数为:
将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数: (2)①当 将间接效用函数分别对
由罗尔恒等式,得到:
②当
由罗尔恒等式,得到:
(3)比较可知,通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。 2.某个消费者的效用函数是 解:(1)消费者的效用最大化问题为: 构造该问题的拉格朗日函数: 拉格朗日函数对
从①式和②式中消去
把④式代入③式中得:
把⑤式代入④式中得:
⑤式和⑥式就是商品1和2的马歇尔需求函数。 将马歇尔需求函数代入直接效用函数中,可得间接效用函数: 由于支出函数与间接效用函数互为反函数,得支出函数为: 3.试根据间接效用函数 解:由间接效用函数可得: 根据罗尔恒等式可知商品1和商品2的马歇尔需求函数分别为(其中 4.考虑一退休老人,他有一份固定收入,想在北京、上海与广州三城市中选择居住地。假定他的选择决策只依赖于其效用函数
解:老人的效用最大化问题为: 构造该问题的拉格朗日函数: 拉格朗日函数对
由①②③三式求解,可得: 将上述两式代入目标式中就得到了老人的间接效用函数: 于是他在北京、上海、广州三地的效用分别为:
因为 又因为 综合上述分析可知:若该退休老人是理性的,则他会选择在北京或上海生活,但不会选择去广州生活。 5.(1)设 (2)又设 (3)证明: 答:(1)消费者的支出最小化问题为: 构造该问题的拉格朗日函数: 拉格朗日函数对
由上述三式解得: 把两式代入目标函数式中,就得到了消费者的支出函数: (2)消费者的支出最小化问题为: 构造该问题的拉格朗日函数: 拉格朗日函数对
由①②③三式可解得: 把上述两式代入目标函数式中,就得到了消费者的支出函数: (3)证明: 根据(1)与(2)的结果,可得 6.设某消费者的间接效用函数为 答:根据间接效用函数与支出函数是反函数的关系,由于消费者的间接效用函数为 根据谢泼特引理,可知物品1的希克斯需求函数为: 7.考虑含 (1)求每种商品的马歇尔需求函数。 (2)求消费者的间接效用函数。 (3)计算消费者的支出函数。 (4)计算每种商品的希克斯需求函数。 解:(1)消费者的效用最大化问题为: 构造该问题的拉格朗日函数: 拉格朗日函数对
从前 从而得到,对任意的 把这 即: 从而解得商品的马歇尔需求函数为: (2)把每个商品的马歇尔需求函数代入效用函数中,就得到了消费者的间接效用函数: (3)从间接效用函数中反解出 (4)把支出函数两边取对数,得: 上式关于 再根据谢泼特引理 8.以柯布一道格拉斯效用函数为例说明求解效用最大化问题和求解支出最小化问题可以得到同一需求函数。 答:(1)如果消费者的效用函数为柯布—道格拉斯效用函数,那么他的效用最大化问题可以描述为: 构造该问题的拉格朗日函数: 拉格朗日函数对
从①式和②式中消去
把④式代入③式中解得:
把⑤式代入④式中解得:
⑤、⑥两式就是与柯布—道格拉斯效用函数相对应的马歇尔需求函数,把它们代入目标函数式中,就得到了间接效用函数: (2)消费者的支出最小化问题为: 构造该问题的拉格朗日函数: 拉格朗日函数对
从①式和②式中消去
把④式代入③式中解得商品1的希克斯需求函数为:
把⑤式代入④式中解得商品2的希克斯需求函数为:
把⑤,⑥两式代入目标函数式中,就得到了消费者的支出函数: (3)下面来验证问题的结论:对柯布—道格拉斯效用函数而言,求解效用最大化问题和求解支出最小化问题可以得到同一需求函数。 把间接效用函数的表达式代入商品1和2的希克斯需求函数中,就得到了它们的马歇尔需求函数: 把支出函数的表达式代入商品1和2的马歇尔需求函数中,就得到了它们的希克斯需求函数: 由此可知,对柯布—道格拉斯效用函数而言,求解效用最大化问题和求解支出最小化问题可以得到同一需求函数。 9.下列说法对吗?为什么? 函数 答:函数 希克斯需求函数(用 (1) (2) (3)对任意的 对任意的 故对于函数 10.下列函数能成为一个马歇尔需求函数吗?为什么? 这里, 答:马歇尔需求函数是指在消费者的收入保持不变和消费者追求效用最大化的条件下,商品的价格和消费者对该商品的需求量之间的关系。马歇尔需求函数具有以下性质: (1)马歇尔需求函数关于价格 (2)如果一种商品是正常品,即 下面对函数 (1) (2)由于
综合上述分析可知该函数不是马歇尔需求函数。 |
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