【金融431笔记】金融经济学（2）

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【金融431笔记】金融经济学（2）

2024-01-15 22:48| 来源: 网络整理| 查看: 265

在上篇《金融经济学（1）》中，我们给出了基本的经济假定，这篇我们继续夯基础，对投资者（消费者）的效用函数进行深一步的探讨，并对基本的风险回避进行介绍。

本篇的参考教材有：

1）尼克尔森《微观经济理论：基本原理与扩展》第9版，第17章

2）李晓春《数理经济学》；

3）陈利平《金融经济学教程》；

4）王江《金融经济学》；

1。VNM期望效用函数

1）VNM期望效用函数简介

经济学对不确定性下的期望效用的研究还是蛮早的，作为一个经济学学渣，我能想起来的最早的效用递减的假设应该就是伯努利（1713年）对圣彼得堡问题的解决了。1953年，冯诺依曼（von Neumann）和摩根斯坦（Morgenstern）提出了期望效用函数的框架，提出了研究不确定性下投资者决策的基础工具。

PS：没错，这个叫冯诺依曼的家伙就是计算机的那个冯诺依曼，也是量子力学的数学基础的冯诺依曼。和伯努利家族不同，这货是真正的天才，年轻时代在欧洲注册了数学的本科数学学生，以不听课光考试还门门得A著称。这种人的存在经常让我觉得上帝这货真的存在，证据就是，上帝对某些人非常偏心。

对不确定性的期望效用的判断，实际上除了VNM的客观概率的期望效用之外，还有一种STP approach，也就是传说中Savage 的主观概率（STP是 sure thing principle的简写）。STP的假设是更贴近现实决策者的，但是相比于客观概率，它缺少了很多良好的性质（比如独立性公理）。当然，也有人会说所谓“客观概率”都是不一定客观，但这涉及你的哲学取向问题，不涉及我们将要学习的内容，因为我们所学习的内容下，概率均被假设为客观可测的。

VNM期望效用函数，定义在所谓“lottery彩票”的基础之上，而所谓lottery，联系上篇中所学的那种具有各种环境下具有不确定性的证券，其含义就是在未来 1 期的取值具有不确定性。我们考虑了 $\Omega$ 种情况下，分别具有可测的概率，即对任意一个 $\omega \in \left\{ 1,2,...,\Omega \right\}$ ，我们在给予情况下的偿付 $x_\omega$ 后，也假设其有确定可测的概率 $P=P(P_1,P_2,...,P_\Omega)\top$ ，其中， $\sum_{\omega\in \Omega}P_\omega=1$ 。

那么面对这样的lottery的情况下，个体将会如何做决定呢？von-Neumann 和 Morgenstern给出的答案是——期望效用函数 $E[u(\cdot)]$ ——亦即，对于不同的lottery（在各种情况下的偿付不同），个体的效用可以通过期望效用函数来进行比较，亦即，给予不同的可能性下不同的效用，一个不确定性证券的效用即是各种情况下效用的加权平均。

此处是有von-Neumann和Morgenstern严格证明过的。具体见MWG微观经济理论Proposition 6.B.3。

故根据上述定义，给定客观世界的分布函数 $F(x (\omega))$ ，我们得到期望效用函数的表达形式：

$E[u(x)]=\int_{x(\omega)}u(x(w))dF(x(\omega))$

而离散可数的概率空间下，期望效用函数为：

$E[u(x)]=\sum_{x(\omega)}u(x(\omega))p(x(\omega))$

这里注意非常重要的一点就是，【期望效用】和【期望的效用】具有着根本定义上的不同。我们求随机变量的特征值的时候，例如求某个随机变量 x 的期望，使用的公式为： $E(x)=\int_{\Omega}xdF(x)$ 但是，对期望效用而言，它则是随机变量 x 的效用的期望，即 $E[u(x)]=\int_{\Omega}u(x)dF(x)$ ;而期望的效用，则是 $u[E(x)]=u(\int_{\Omega}xdF(x))$ ；这里希望大家把它区分开。总而言之，我们对期望效用的定义，是定义在一个随机变量的函数上的期望，而不是定义在随机变量期望上的函数值（绕skr人，skrskr）。

定义VNM期望效用函数之后，我们这里需要讲一个基数效用和序数效用的问题。在一般的微观经济学教材中都会告诉你，效用值是一个主观排序的存在，目的是为了排序而不是明确的计算。但是，在VNM期望效用函数中，我们需要的就不仅仅是一个排序的序数这么简单的事儿了，我们要计算效用值，要求导来分析风险规避问题，还要使用边际以求得效用最大化，所以，number does matter。要记住：VNM是可计算的基数效用函数。

2）期望效用函数的其他假设

由VNM期望效用函数的定义，可知效用函数的取值，有两个决定性的因素：未来状态的概率空间（ $\Omega,\mathcal F,P$ ），以及消费者对各种状态下的偏好（效用值）除此之外，VNM期望效用函数还有着许多其他的性质假设，我们一一来看一下。

我们在第一篇了解到，作为效用函数，它首先具有效用公理化假设的三大性质（连续，不满足，凸性）。除此之外，我们还应该了解的假设有：

①独立性公理：假设存在两个消费计划

和

，对于某一特定的状态 $\omega$ 具有相同的消费路径 $x_\omega$ 。如果假定 $c\succeq c'$ ，那么将此状态的路径改成 $y_\omega$ ，二者排序不变；

对此的理解是：如果 $c\succeq c'$ 成立，那么其中一条消费路径的改变并不会影响整体消费计划的偏好方向，其余路径与该路径独立。

这条公理有另外一种表述，即：若 $A\succeq B$ ，则对于任意消费计划，和 $\forall \quad0 \alpha1$ ，都有 $\alpha A+(1-\alpha)C\succeq\alpha B+(1-\alpha)C$ ——即两个已知的不确定支付的证券，分别同任意第三个证券混合，其效用的优劣排序是不变的。

PS：冯诺依曼和摩根斯坦正是证明了效用函数在满足独立性公理、连续性与理性假设的前提下，证明了期望效用函数仍然具有效用函数功能的事实——这也被称为期望效用定理，其有严密的证明，可见MWG 《微观经济理论》定理6.B.3，这里我们就不用展开了，这个证明应该不会考，因为是一个数学命题。

②状态独立假设：这个比较好理解，所谓状态独立无非是未来世界的不同的状态是互斥的，一个状态发生就代表着其他状态不发生。但是这里会引申出一个重要性质：即不同消费路径也是互斥的，一个状态下的消费路径发生，就代表其他的消费路径是不发生的。

===我是站位分割引用号的分割符===

③时间可加性。从上篇的效用函数看，效用函数一般形式即是 u(c_0,c_1)

，对于特定状态 $\omega$ ，消费路径可被记为： $u(c_0,c_{1,\omega})$ 。我们假设， $u(c_0,c_{1,\omega})=u(c_0)+u(c_{1,\omega}）$

关于时间可加性，我们需要澄清的是，这是一种为了简便而言的假设，但是有时间区间的效用函数，更加一般的结果是二者之间是有联系的。比如我们用馒头举例子，今天只吃了一个馒头，明天这个时候就饿坏了，所以一个馒头的效用就会被放大；但是如果今天吃了10个馒头，即便是明天这会儿可能看到馒头还是会心有余悸，所以一个馒头的效用就非常小了。

而我们的时间可加性告诉我们，0 期和 1 期的效用是相互独立的。更加一般的，我们考虑到各种不同的情况下的状态和概率，则期望效用函数可以写成如下的形式：

$E[u(c)]=u(c_0)+\sum_{\omega\in\Omega}p_\omega u(c_{1,\omega})$ 。

PS：写成连续形式则是 $E[u(c)]=u(c_0)+\int_{\omega\in\Omega}u(c_\omega)dF(c_\omega)$

由于时间独立性的假设太过严格，和我们要研究的证券购买力差距太大，所以我们也经常会给出一个因子 $\rho(\rho1)$ ，将效用函数写成 $u(c_0,c_{1,\omega})=u(c_0)+\rho u(c_{1,\omega}）$ 的形式（这个因子会被引申为折现因子）。

以上就是关于效用函数的一些基本定义。在未来的行为金融学介绍里，我们的效用函数还会出现更多的扭曲，如攀比、习惯、状态依赖（也就是前面这个因子）、前景理论（一阶风险厌恶），阿莱悖论（不确定性厌恶）等等。当然，这些都是后面要讲的东西，和我们现在无关。

VNM期望效用函数最有趣的一个点是，它存在着很多反例。感兴趣的同学可见其悖论。（例如最著名的Alias悖论）。

VNM就介绍到了这里，我尽量用简化了期望效用函数的内容，所以上面的东西希望大家一定要掌握。

2。风险偏好

投资者在投资具有不确定性的证券时，需要考虑证券未来的收益。有的证券的波动更大，但是收益更大；有的证券波动更小，但是期望收益相对较低。那么，投资者如何在效用函数上反映这种现象呢？这就需要我们研究效用函数的形状和性态。

我们先来给出一个一个具有不确定性支付的证券，它具有一个特性，就是 E(g)=0 。也就是说，证券的在不同状态下的确有不确定的支付，但是它的期望收益为0。在经济学中，我们称这种证券为“fair gamble”（公平赌博）。那么，不同的风险偏好的效用函数在面对fair gamble的时候，又会做出怎样的决策呢？

换句话说，有一个1块钱票价、具有各种不确定性的证券，但是它的期望支付也是1（恰好覆盖成本），你愿意不愿意买呢？

金融经济学据此将人们的风险类型分类为三种：

风险偏好：买！我愿意参加fair gamble；风险中性：参加不参加fair gamble 无区别；风险厌恶：只有有一定风险补偿的时候，才会参加fair gamble。

将它们的态度按照学过的效用函数来表示：

风险偏好意味着，投资者的期望效用大于期望值的效用，即 $E[u(x(\omega)]u[E(x(\omega))]$ ;风险中性意味着二者相等： $E[u(x(\omega)]=u[E(x(\omega))]$ ；风险厌恶意味着，期望效用要小于期望值的效用，即 $E[u(x(\omega)]u[E(x(\omega))]$ 。

我们将其写成概率的形式，在不确定性证券的条件下，风险厌恶的投资者，满足如下公式：

$\qquad \qquad \sum_{\omega\in\Omega}p(x)u(x)=E[u(x)]u[E(x)]=u[\sum_{\omega\in\Omega}p(x)\times x]$

我们称这样的效用函数严格凹（这里注意，经济学和数学上的凹凸性非常成迷，我原以为是翻译锅，后来找了几个不同的版本的数学教材，发现也是乱七八糟，所以这里以此笔记里面的版本为主，同时，这个公式实际上叫做詹森不等式）。

此处注意凹函数的定义：如果一个函数 u(x)

具有凹性，那么给定 $x_1x_2\in I$ 其中

为凹性区间，则对 $\forall \quad0\alpha1$ ，有 :

$\alpha u(x_1)+(1-\alpha)u(x_2)u[\alpha x_1+(1-\alpha)x_2]$ ;且我们知道，如果凹函数 u(x) 在此区间二阶可导，那么我们还有 u''(x)0 。

举一反三，我们应该很快明白，根据上面的定义，有：

风险偏好者的效用函数是凸函数；风险中性的函数是一条直线。

如图表示则为：

性感师姐，在线画图

而我们定义下的投资者，一般认为，是符合风险回避的。那么对于风险回避，我们又将如何量化投资者的风险回避程度呢？答案是，使用风险溢价的大小。

我们重新来看这个式子：

$\qquad \qquad \sum_{\omega\in\Omega}p(x)u(x)=E[u(x)]u[E(x)]=u[\sum_{\omega\in\Omega}p(x)\times x]$

可以知道： u[E(x)]-E[u(x)]0 ，那么它的差值是什么呢？直觉上理解，就是风险溢价，即为弥补不确定性证券所带来的风险所带来的额外补偿。下面我们直接研究风险溢价——或者说，不确定性证券的价值。

设某个fair gamble 的证券 x 的价值大小为 $\pi$ ，显然对于某个风险厌恶的投资者而言，它的价值是一个负值。即有：

$E(u(x))=-u(\pi)$

在左边，我们对fair gamble证券的期望效用函数进行二阶展开有：

$Eu(x)=u(0)+u'(0)E(x)+\frac{1}{2}u''(0)\sigma E(x^2)+o(Ex^2）$

由于 E(x)=0 ,忽略高阶无穷小量，式可以被化简为：

$Eu(x)=u(0)+0+\frac{1}{2}u''(x)\sigma_{x}^2=u(-\pi)=-u(\pi)$

我们再对等式右面进行泰勒展开，则有：

$-u(\pi)=-u(0)-\frac{1}{2}u'(0)\pi+o(\pi)$

忽略掉高阶无穷小，则得出不确定风险的价值表示变成了：

$\quad \qquad \qquad \qquad\qquad\pi=-\frac{1}{2} \frac{u''(0)}{u'(0)}\sigma^{2}_x$

当然，我们赋予初始值不一定是u（x）在0点的取值，加上初始财富，我们可以将其表示为更一般的形式：

$\quad \qquad \qquad \qquad\qquad\pi=-\frac{1}{2} \frac{u''(W)}{u'(W)}\sigma^{2}_x$

在经济学中，通过定量的方式衡量个体的风险厌恶情况，是由投资者所愿意支付的风险溢价来决定的，此式被称为Arrow-Pratt近似，分别由这两位经济学家独立给出。它不仅给定了一个衡量投资者回避风险的程度，也给出了风险溢价的量化表示。

同时，我们给出配套的两组定义，即：

1：绝对风险回避系数 $A(W)=-\frac{u''(W)}{u'(W)}$ （Absolute risk aversion），作为纯系数衡量风险回避程度，它也被称为Arrow-Pratt测度，以后我们将其简称为A-P测度；

2：相对风险回避系数 $R(W)=-\frac{u''(W)}{u'(W)} \cdot W=\frac{du'(W)/u'(W)}{dW/W}$ ，通过边际效用对财富的弹性来衡量相对风险回避系数。这也是我们在博迪《投资学》中，公式 $u(W)=E(W)-\frac{1}{2}A\sigma^2$ 中的“ ”（被博迪简要的解释为风险回避系数）的东西。

当系数为正时，投资者风险厌恶；系数恒定为0时，风险中性；系数恒定为负的时候，风险偏好

这里我提一个问题，这两个系数，到底有什么联系与区别呢？

我们先来看绝对风险回避系数 A(W) 。对于这个系数，我们可知：

$\pi=\frac{1}{2}A(W)\sigma_x^2$

也就是说，风险溢价的值直接衡量。同时，如果把它换成相对系数 R(W) ，我们知道，式变成了：

$\pi=\frac{1}{2}\cdot \frac{R(W)}{W}\sigma_x^2$

根据上面这个式子，以及R（W）的定义式，我们显而易见地发现，所谓相对风险回避系数，是对未来财富变化程度（也就是收益率）的一个度量方式。也就是说，给定一个期望收益率 $E(\tilde{\pi})=0$ 的fair gamble，风险回避者的等价效用应是是 :

$E[u(W(1+x)]=u(W(1-\tilde{\pi}))$ ，而此时我们给出的折价率（也就是 $\tilde{\pi}$ ）的表示法为：

$\tilde{\pi}=\frac{1}{2}R(W)\sigma_x^2$ ；

所以，我们简单的总结如下：

绝对风险回避系数A（W）度量真实财富变化下的风险溢价大小；相对风险会比系数R(W)度量真实财富变化收益率下的风险溢价；

以上就是我们对风险溢价要介绍的部分。这也解释了为什么博迪投资学的效用模型给出的是一个相对风险回避系数。

3。对风险偏好的拓展研究

我们从上面的风险偏好系数的定义式可知，无论是A-P测度也好，还是相对风险回避系数也罢，它的定义式都是关于财富“W”的函数。在财富不断增加的时候，其风险回避的程度也会随之发生变化。我们分别定义三种情况，来说明风险回避系数的变动情况：

定义：

递增的绝对风险厌恶（Increased Absolute Risk Aversion，IARA），表示绝对风险系数随财富的增加递增（越有钱越胆小），即 $\frac{dA(W)}{dW}0$ ；递减的绝对风险厌恶（Decreased ARA，DARA）,即： $\frac{dA(W)}{dW}0$ ，即越有钱胆子越大;还有一种常值绝对风险厌恶，与财富多少无关，即 $\frac{dA(W)}{dW}=0$ 。

同样，我们对相对风险厌恶也有类似的定义：

IRRA：递增的相对风险回避系数；DRRA：递减的相对风险回避系数；CRRA：常值相对风险回避系数；

以上是我们对效用函数、风险回避系数的基本介绍，本篇后有习题。请见下文。

4。效用函数、风险规避的相关性质证明（作为习题）

在金融经济学（1）（2）学完之后，我们可以做一些关于此的性质证明。证明均比较简单，一般不会做不出来，但是为了照顾大家的智力（笑），我还是会择时给大家写出简略证明，请大家即时关注相应的文章区间。习题如下：

1、请证明下列叙述等价：

a。投资者风险回避 $\Leftrightarrow$ 投资者要求的风险溢价为正 $\Leftrightarrow$ 投资者的风险厌恶系数为正；

b。投资者风险厌恶 $\Rightarrow$ 投资者效用函数是凹函数（二阶导数大于零）；

2、若设定效用函数为，证明该投资者的风险回避系数为常值；

3、若设定效用函数为 $u(W)=aW-\frac{1}{2}W^2$ ，证明投资者的风险回避系数递增；

4、证明：若投资者风险厌恶，且绝对风险厌恶系数递减，证明效用的三阶导数 ;

5、证明，效用函数 $u(W)=\frac{W^{1-\theta}-1}{1-\theta},\theta0$ 在参数值 $\theta$ 趋近于1时为对数函数；

6、求广义幂效用函数 $u(W)=\frac{(A+BW)^{1-\frac{1}{B}}}{B-1},B0,A\ne0$ 的风险回避系数（绝对和相对的都要求）；

7、设存在 K 种风险资产（支付不确定性的证券）和一种无风险资产，投资者严格风险厌恶，记 $\tilde{r}_j$ 为第 j 种风险资产的回报（向量），记 $E(\tilde{r}_j)$ 为 j 风险资产的期望回报；证明：若投资者愿意投资与风险资产，则至少存在一种资产，满足 $E(\tilde{r}_i)-r_f0$ ；

8、写出题目 7 下的投资者效用最大化的一阶条件。

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