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常用极限，导数，级数 秒杀必背积分表实数部分 秒杀必背积分表三角部分

lim ⁡ x → 0 sin ⁡ x x = 1   lim ⁡ n → ∞ ( 1 + 1 n ) n = e   ;   lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 1 x ) x = e \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\\\ \\ \lim_{n\to \infty}(1+\frac 1 n)^n=e\space;\space\lim_{x\to \infty}(1+\frac 1 x)^x=e x→0lim​xsinx​=1 n→∞lim​(1+n1​)n=e ; x→∞lim​(1+x1​)x=e

当 x → 0 :   sin ⁡ x → x    ;    tan ⁡ x → x    ;   arctan ⁡ x → x    ;    arcsin ⁡ x → x    ;   1 − cos ⁡ x → x 2 2    ;    1 + x n → 1 n x    ;   e x − 1 → x    ;    ln ⁡ ( x + 1 ) → x    ;   ( 1 + x ) α → α x    ;    ln ⁡ ( x + 1 + x 2 ) → x   log ⁡ a ( 1 + x ) → x ln ⁡ a    ;    a x − 1 → x ln ⁡ a   x − sin ⁡ x → 1 6 x 3    ;    tan ⁡ x − x → 1 3 x 3   arcsin ⁡ x − x → 1 6 x 3    ;    x − arctan ⁡ x → 1 3 x 3   tan ⁡ x − sin ⁡ x → 1 2 x 3   1 − 1 − x 2 → 1 2 x 2   1 + x a − 1 → 1 2 x a 当x\to 0:\\\ \\ \sin x\to x\space\space;\space\space\tan x\to x\space\space;\\\ \\\arctan x\to x\space\space;\space\space\arcsin x\to x\space\space;\\\ \\ 1-\cos x\to \frac{x^2}2\space\space;\space\space\sqrt[n]{1+x}\to \frac 1 n x\space\space;\\\ \\ e^x-1\to x\space\space;\space\space\ln(x+1)\to x\space\space;\\\ \\ (1+x)^\alpha\to \alpha x\space\space;\space\space\ln (x+\sqrt{1+x^2})\to x\\\ \\ \log_a(1+x)\to\frac x{\ln a}\space\space;\space\space a^x-1\to x\ln a\\\ \\ x-\sin x\to\frac 1 6x^3 \space\space;\space\space \tan x-x\to \frac 1 3 x^3\\\ \\ \arcsin x -x\to \frac 1 6 x^3 \space\space;\space\space x-\arctan x\to\frac 1 3 x^3\\\ \\ \tan x-\sin x\to \frac 1 2 x^3\\\ \\1-\sqrt{1-x^2}\to\frac 1 2 x^2\\\ \\\sqrt{1+x^a}-1\to\frac 1 2 x^a 当x→0: sinx→x  ;  tanx→x  ; arctanx→x  ;  arcsinx→x  ; 1−cosx→2x2​  ;  n1+x ​→n1​x  ; ex−1→x  ;  ln(x+1)→x  ; (1+x)α→αx  ;  ln(x+1+x2 ​)→x loga​(1+x)→lnax​  ;  ax−1→xlna x−sinx→61​x3  ;  tanx−x→31​x3 arcsinx−x→61​x3  ;  x−arctanx→31​x3 tanx−sinx→21​x3 1−1−x2 ​→21​x2 1+xa ​−1→21​xa

lim ⁡ x → 0 sin ⁡ 1 x 1 x = 0 \lim_{x\to 0}\frac{\sin \frac 1 x}{\frac 1 x}=0 x→0lim​x1​sinx1​​=0

1 1 − z = ∑ n = 0 ∞ z n = 1 + z + z 2 ⋯ + z n + ⋯   1 1 + z = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n z n = 1 − z + z 2 ⋯ + ( − 1 ) n z n + ⋯   ln ⁡ ( 1 + x ) = x − x 2 2 + x 3 3 − ⋯ + ( − 1 ) n x n + 1 n + 1 + ⋯   e x = 1 + x + x 2 2 + ⋯ + x n n ! + ⋯   sin ⁡ x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − ⋯ + ( − 1 ) n + 1 x 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) ! + ⋯   cos ⁡ x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − ⋯ + ( − 1 ) n + 1 x 2 n − 2 ( 2 n − 2 ) ! + ⋯   ( 1 + x ) α = 1 + α x + α ( α − 1 ) 2 x 2 + ⋯   1 + x 2 = 1 + 1 2 x 2 − 1 8 x 4 + o ( x 4 ) \frac 1 {1-z}=\sum_{n=0}^{\infty}z^n=1+z+z^2\cdots+z^n+\cdots\\\ \\ \frac 1 {1+z}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nz^n=1-z+z^2\cdots+(-1)^nz^n+\cdots\\\ \\ \ln(1+x)=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\cdots+(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1} +\cdots\\\ \\ e^x=1+x+\frac{x^2}2+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots\\\ \\ \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+\cdots\\\ \\ \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-2}}{(2n-2)!}+\cdots\\\ \\ (1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}2x^2+\cdots\\\ \\ \sqrt{1+x^2}=1+\frac 1 2x^2-\frac 1 8x^4+o(x^4) 1−z1​=n=0∑∞​zn=1+z+z2⋯+zn+⋯ 1+z1​=n=0∑∞​(−1)nzn=1−z+z2⋯+(−1)nzn+⋯ ln(1+x)=x−2x2​+3x3​−⋯+(−1)nn+1xn+1​+⋯ ex=1+x+2x2​+⋯+n!xn​+⋯ sinx=x−3!x3​+5!x5​−⋯+(−1)n+1(2n−1)!x2n−1​+⋯ cosx=1−2!x2​+4!x4​−⋯+(−1)n+1(2n−2)!x2n−2​+⋯ (1+x)α=1+αx+2α(α−1)​x2+⋯ 1+x2 ​=1+21​x2−81​x4+o(x4)

( arcsin ⁡ x ) ′ = 1 1 − x 2   ( arccos ⁡ x ) ′ = − 1 1 − x 2   ( arctan ⁡ x ) ′ = 1 1 + x 2   ( a r c c o t x ) ′ = − 1 1 + x 2   ( tan ⁡ x ) ′ = 1 cos ⁡ 2 x = sec ⁡ 2 x   ( cot ⁡ x ) ′ = − 1 sin ⁡ 2 x = − csc ⁡ 2 x   ( sec ⁡ x ) ′ = sec ⁡ x tan ⁡ x = tan ⁡ x cos ⁡ x   ( csc ⁡ x ) ′ = − csc ⁡ x cot ⁡ x = − 1 sin ⁡ x tan ⁡ x   ( cos ⁡ x ) ( n ) = cos ⁡ ( x + n π 2 )   ( sin ⁡ x ) ( n ) = sin ⁡ ( x + n π 2 )   ( x n ) ( n ) = n ! ( x n ) ( n + 1 ) = 0   ( 1 x + a ) ( n ) = ( − 1 ) n n ! ( x + a ) n + 1   ( ln ⁡ ( x + b ) ) ( n ) = ( − 1 ) n − 1 ( n − 1 ) ! ( x + b ) n   (\arcsin x)'=\frac 1 {\sqrt{1-x^2}}\\\ \\ (\arccos x )' =-\frac 1 {\sqrt{1-x^2}}\\\ \\ (\arctan x )'=\frac 1 {1+x^2}\\\ \\ (arccot x)' =-\frac 1 {1+x^2}\\\ \\ (\tan x)'=\frac 1 {\cos^2x}=\sec^2x\\\ \\ (\cot x)' =-\frac 1 {\sin^2 x}=-\csc^2 x\\\ \\ (\sec x)'=\sec x\tan x=\frac{\tan x}{\cos x}\\\ \\ (\csc x)'=-\csc x \cot x=-\frac 1{\sin x \tan x}\\\ \\ (\cos x)^{(n)}=\cos(x+\frac {n\pi}2)\\\ \\ (\sin x)^{(n)}=\sin(x+\frac {n\pi}2)\\\ \\ (x^n)^{(n)}=n! \\ (x^n)^{(n+1)}=0 \\\ \\ (\frac 1 {x+a})^{(n)}=\frac{(-1)^nn!}{(x+a)^{n+1}}\\\ \\ (\ln(x+b))^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(x+b)^{n}}\\\ \\ (arcsinx)′=1−x2 ​1​ (arccosx)′=−1−x2 ​1​ (arctanx)′=1+x21​ (arccotx)′=−1+x21​ (tanx)′=cos2x1​=sec2x (cotx)′=−sin2x1​=−csc2x (secx)′=secxtanx=cosxtanx​ (cscx)′=−cscxcotx=−sinxtanx1​ (cosx)(n)=cos(x+2nπ​) (sinx)(n)=sin(x+2nπ​) (xn)(n)=n!(xn)(n+1)=0 (x+a1​)(n)=(x+a)n+1(−1)nn!​ (ln(x+b))(n)=(x+b)n(−1)n−1(n−1)!​ 

[ f ( x ) ⋅ g ( x ) ] ( n ) = f ( n ) g + C n 1 f ( n − 1 ) g + ⋯ + C n k f ( n − k ) g ( k ) + ⋯ + f g ( n ) [f(x)\cdot g(x)]^{(n)}=f^{(n)}g+C_n^1f^{(n-1)}g+\cdots+C_n^kf^{(n-k)}g^{(k)}+\cdots+fg^{(n)} [f(x)⋅g(x)](n)=f(n)g+Cn1​f(n−1)g+⋯+Cnk​f(n−k)g(k)+⋯+fg(n)

对 于 函 数 ， 其 输 入 的 变 量 之 间 必 须 相 互 独 立 对于函数，其输入的变量之间必须相互独立 对于函数，其输入的变量之间必须相互独立

因 此 ， 对 于 以 坐 标 为 输 入 变 量 的 多 元 函 数 ， 如 ( ρ , ϕ , z ) , ( r , θ , ϕ ) 其 任 意 两 个 微 商 ∂ ρ ∂ ϕ = 0 , 因此，对于以坐标为输入变量的多元函数，如\\ (\rho,\phi,z),(r,\theta,\phi)\\ 其任意两个微商\frac{\partial\rho}{\partial\phi}=0, 因此，对于以坐标为输入变量的多元函数，如(ρ,ϕ,z),(r,θ,ϕ)其任意两个微商∂ϕ∂ρ​=0, 全微分：