1

．对数的概念

如果

a

(

a

>0

，且

a

≠

1)

的

b

次幂等于

N

，即

a

b

=

N

，那么数

b

叫做以

a

为底

N

的对数，记作：

log

a

N

=

b

，其中

a

叫做对数的底数，

N

叫做真数

．

由定义知：

①负数和零没有对数；

②

a

>0

且

a

≠

1

，

N

>0

；

③

log

a

1=0

，

log

a

a

=1

，

a

logaN

=

N

(

对数恒等式

)

，

log

a

a

b

=

b

。

特别地，以

10

为底的对数叫常用对数，记作

log

10

N

，简记为

lgN

；

以无理数

e

(

e

=2

．

718 28

…

)

为底的对数叫做自然对数，记作

log

e

N

，简记为

lnN

．

2

．对数式与指数式的互化

式子名称

a

b

=

N

指数式

a

b

=

N

(

底数

)(

指数

)(

幂值

) 

对数式

log

a

N

=

b

(

底数

) (

真数

) (

对数

) 

3

．对数的运算性质

如果

a

>0

，

a

≠

1

，

M

>0

，

N

>0

，那么

(1)

log

a

(

MN

)=

log

a

M

+

log

a

N

．

(2)

log

a

（

M

/

N

）

=

log

a

M

-

log

a

N

．

(3)

log

a

M

n

=

nlog

a

M

(

n

∈

R

)

．

问：①公式中为什么要加条件

a

>0

，

a

≠

1

，

M

>0

，

N

>0? 

②

log

a

a

n

=? 

(

n

∈

R

) 

③对数式与指数式的比较

．

(

学生填表

) 

式子

a

b

=

N

，

log

a

N

=

b

名称：

a

—幂的底数

b

—

N

—

a

—对数的底数

b

—

N

—

运算性质：

a

m

·

a

n

=

a

m

+

n

a

m

÷

a

n

= 

a

m

-

n

(

a

>0

且

a

≠

1

，

n

∈

R

) 

log

a

MN

=

log

a

M

+

log

a

N

log

a

MN

= 

log

a

M

n

= 

(

n

∈

R

) (

a

>0

，

a

≠

1

，

M

>0

，

N

>0) 

难点疑点突破

对数定义中，为什么要规定

a

＞

0

，

，且

a

≠

1? 

理由如下：

①

a

＜

0

，则

N

的某些值不存在，例如

log

-2

8=? 

②若

a

=0

，则

N

≠

0

时

b

不存在；

N

=0

时

b

不惟一，可以为任何正数

? 

③若

a

=1

时，则

N

≠

1

时

b

不存在；

N

=1

时

b

也不惟一，可以为任何正数

? 

为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于

1

的正数

?