大家都知道（反正我之前只知道前三个）：

第1个公式的证明： 小学生请出门左拐。

第2个公式的证明： n3−(n−1)3 n 3 − ( n − 1 ) 3 =n2+n(n−1)+(n−1)2 = n 2 + n ( n − 1 ) + ( n − 1 ) 2 =2n2+(n−1)2−n = 2 n 2 + ( n − 1 ) 2 − n 得到 13−03=2∗12+02−1 1 3 − 0 3 = 2 ∗ 1 2 + 0 2 − 1 23−13=2∗22+12−2 2 3 − 1 3 = 2 ∗ 2 2 + 1 2 − 2 33−23=2∗32+22−3 3 3 − 2 3 = 2 ∗ 3 2 + 2 2 − 3 ... . . . n3−(n−1)3=2n2+(n−1)2−n n 3 − ( n − 1 ) 3 = 2 n 2 + ( n − 1 ) 2 − n 全部相加 n3=3(12+22+32+...+n2)−n2−(1+2+3+...+n) n 3 = 3 ( 1 2 + 2 2 + 3 2 + . . . + n 2 ) − n 2 − ( 1 + 2 + 3 + . . . + n ) 3(12+22+33+...+n2)=n3+n2+12(n+1)n 3 ( 1 2 + 2 2 + 3 3 + . . . + n 2 ) = n 3 + n 2 + 1 2 ( n + 1 ) n 12+22+33+...+n2=16n(n+1)(2n+1) 1 2 + 2 2 + 3 3 + . . . + n 2 = 1 6 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )

第三个公式的证明： n4−(n−1)4 n 4 − ( n − 1 ) 4 =[n2+(n−1)2][n2−(n−1)2] = [ n 2 + ( n − 1 ) 2 ] [ n 2 − ( n − 1 ) 2 ] =(2n2−2n+1)(2n−1) = ( 2 n 2 − 2 n + 1 ) ( 2 n − 1 ) =4n3−6n2+4n−1 = 4 n 3 − 6 n 2 + 4 n − 1 得到 14−04=4∗13−6∗12+4∗1−1 1 4 − 0 4 = 4 ∗ 1 3 − 6 ∗ 1 2 + 4 ∗ 1 − 1 24−14=4∗23−6∗22+4∗2−1 2 4 − 1 4 = 4 ∗ 2 3 − 6 ∗ 2 2 + 4 ∗ 2 − 1 34−24=4∗33−6∗32+4∗3−1 3 4 − 2 4 = 4 ∗ 3 3 − 6 ∗ 3 2 + 4 ∗ 3 − 1 ... . . . n4−(n−1)4=4n3−6n2+4n−1 n 4 − ( n − 1 ) 4 = 4 n 3 − 6 n 2 + 4 n − 1 全部相加 n4=4(13+23+33+...+n3)−6(12+22+33+...+n2)+4(1+2+3+...+n)−n n 4 = 4 ( 1 3 + 2 3 + 3 3 + . . . + n 3 ) − 6 ( 1 2 + 2 2 + 3 3 + . . . + n 2 ) + 4 ( 1 + 2 + 3 + . . . + n ) − n 4(13+23+33+...+n3)=n4+n(n+1)(2n+1)−2(n+1)n+n 4 ( 1 3 + 2 3 + 3 3 + . . . + n 3 ) = n 4 + n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) − 2 ( n + 1 ) n + n 13+23+33+...+n3=14(n+1)2n2 1 3 + 2 3 + 3 3 + . . . + n 3 = 1 4 ( n + 1 ) 2 n 2

应该能发现这个证明的方法的规律了吧（其实就是降次）

后面的递推着推就好

然而博主不会k次方幂的通项公式 这里是%%%ACdreamer的详细讲解