当CCR、BCC模型是对全要素生产率做出了讨论，但越来越多的学者发现产出不仅仅只有期望产出，例如当在有GDP产出时候，在工业领域必然会产生二氧化碳、废水等非期望产出。那么结合非期望产出，原本CCR、BCC模型考虑的投入越少导致产出越多就不能说明一个DMU是有效率的，如何将非期望产出考虑进去就成了问题。因此在此之后发展出SBM、DDF模型。

（张宁，2022）最初 DDF 是按同比例调整“好”产出的增加与 “坏”产出的减少，这被称作“径向效率”，本质上是一般化的 Shepherd 距离函数，虽然它修正了 Shepherd 距离函数的缺陷，但这种方法在非参前沿下无法考虑潜在松弛变量的影响。Zhou(2012)放松了DDF中合意产出与非合意产出必须同等比例增加和减少的限制，提出非径向方向距离函数(non-radial directional distance function,简称 NDDF)，允许两类产出的增减比例不一致，同时也避免了DDF可能存在的松弛偏差问题。

也就是说，传统的DDF模型只能从K点投影到前沿面的H点，但在NDDF下，可以投影到LAM这个线段上的任意一个点。

NDDF的公式为：

简单来说SBM模型就是考虑了冗余变量，例如E点，投影到前沿面是F点。但对于F点来说，B点在产出不变的情况下投入减少，相对于F点改进的更多。那么BF部分就是冗余的部分（Fukuyama ＆ Weber ，2009）。而径向模型类似CCR、BBC只考虑了E点到F点的情况。

在方向可变的情况下，考虑了冗余变量 Fukuyama ＆ Weber ( 2009）对SBM模型的方向性进行了讨论。对于目标函数的x，y，b的讨论，严谨的说来要考虑方向的因素，因此需要对x，y，b进行变形引入方向因素，变为 g n x 、 g n y 、 g n b g_n^x、g_n^y、g_n^b gnx​、gny​、gnb​ 其中Tone提出的SBM目标函数与Fukuyama的方向性SBM目标函数是等价的 证明：(已知SBM模型的出的效率值必小于一） 之后在引入了对非期望产出的讨论（陈诗一，2021)。在这模型中， g n x = x n o 、 g n y = y m o 、 g n b = b k o g_n^x=x_{no}、g_n^y=y_{mo}、g_n^b=b_{ko} gnx​=xno​、gny​=ymo​、gnb​=bko​，如此假定意味着方向向量与产出投入的列向量方向相同。 但同样的，有方向向量不同的Fukuyama ＆ Weber ( 2009） 采用了不同的方向向量（蔡宁，2014）

Fukuyama ＆ Weber ( 2009）提到若 s n x = β g n x s_n^x=\beta g_n^x snx​=βgnx​… 那么SBM模型就是DDF模型。

EBM与SBM模型的发明者是同一个人Tone K，可以说是在SBM的基础上考虑到了径向的因素，博主用的不多，暂不赘述。

评价 D M U k DMU_k DMUk​ 在两个时期的生产率变化 需要说明的是，上述模型是为计算ML指数中 D 0 t ⃗ 、 D 0 t + 1 ⃗ \vec{D_0^t}、\vec{D_0^{t+1}} D0t​ ​、D0t+1​ ​提供方法。 同样也有别的指标，详细可参考列出文献。

Y. H. Chung, R. F ̈ are and S. Grosskopf (1997). Productivity and Undesirable Outputs: A Directional Distance Function Approach.Journal of Environmental Management 51, 229–240 ML指数是在DDF的基础上发展出来的 In this section we give a short presentation of the output-oriented Malmquist productivity index and we introduce our new productivity index based on the directional distance function. We call this the Malmquist–Luenberger productivity index. 简单来说，原本的Malmquist指数是C点到A点，这种情况下(bad)产出仍然会增加。但考虑方向性距离函数后，变为(bad)减少的方向，于是从C点到B点。具体解释参考文献。

ML指数可以作为 存在环境污染的全要素生产率（ETFP） 指标（沈可挺，2011；蔺鹏，2021） ML指数求的是后一期相对于前一期的全要素生产率（TFP）的变化率。因此研究X对生产率文献中会将基期t的TFP设为1，t+1期的TFP为t+1期的ML指数×t期的TFP（邱斌等，2008）。 设 : T F P t = 1 设: TFP^{t} = 1 设:TFPt=1 T F P t + 1 = T F P t × M L t t + 1 TFP^{t+1}=TFP^t \times ML_t^{t+1} TFPt+1=TFPt×MLtt+1​

现在文献测算绿色全要素生产率的主要方法是采用NDDF或SBM-DDF。一种是可调权重比例的方向性距离函数（NDDF），这种方法可以单独考虑能源对于非期望产出的影响。一种是考虑了冗余变量的方向性距离函数（SBM-DDF），这种方法测量了一定条件下所能达到的最大值。