来源：雪球App，作者： 量化哥-优矿Uqer，（https://xueqiu.com/4105947155/74651531）

前面几篇介绍了ARMA、ARIMA及季节模型，这些模型一般都假设干扰项的方差为常数，然而很多情况下时间序列的波动有集聚性等特征，使得方差并不为常数。因此，如何刻画方差是十分有必要研究的。 本文介绍的ARCH、GARCH模型可以刻画出随时间变化的条件异方差。

本篇承接上两篇文章，作者：fyiqi，原文链接：金融时间序列入门（三）：网页链接，金融时间序列入门（二）：网页链接… 金融时间序列分析入门【一】 :网页链接，继续进行时间序列的探索，建议您可以按照顺序阅读。

对于金融时间序列，波动率往往具有以下特征：

（1）存在波动率聚集现象。 即波动率在一段时间上高，一段时间上低。

（2）波动率以连续时间变化，很少发生跳跃

（3）波动率不会发散到无穷，波动率往往是平稳的

（4）波动率对价格大幅上升和大幅下降的反应是不同的，这个现象为杠杆效应

在传统计量经济学模型中，干扰项的方差被假设为常数。但是许多经济时间序列呈现出波动的集聚性，在这种情况下假设方差为常数是不恰当的。

ARCH模型将当前一切可利用信息作为条件，并采用某种自回归形式来刻划方差的变异，对于一个时间序列而言，在不同时刻可利用的信息不同，而相应的条件方差也不同，利用ARCH 模型，可以刻划出随时间而变异的条件方差。

1.资产收益率序列的扰动 {at} 是序列不相关的，但是不独立。

2.{at}的不独立性可以用其延迟值的简单二次函数来描述。

具体而言，一个ARCH(m)模型为：

其中，

从上面模型的结构看，大的过去的平方“扰动”会导致信息at大的条件异方差。从而at有取绝对值较大的值的倾向。这意味着：在ARCH的框架下，大的"扰动"会倾向于紧接着出现另一个大的"扰动"。这与波动率聚集的现象相似。

所谓ARCH模型效应，也就是条件异方差序列的序列相关性

ok，上面尽可能简单的介绍了ARCH的原理，下面主要介绍如何python实现。ARCH模型建立大致分为以下几步：

步骤（1）：通过检验数据的序列相关性建立一个均值方程，如有必要，对收益率序列建立一个计量经济模型（如ARMA）来消除任何线形依赖。

步骤（2）：对均值方程的残差进行ARCH效应检验

步骤（3）：如果具有ARCH效应，则建立波动率模型

步骤（4）：检验拟合的模型，如有必要则进行改进

arch库其实提供了现成的方法，（后面会介绍），但是为了理解ARCH，我们按流程来建模

这里的均值方程可以简单认为建立ARMA(或ARIMA)模型，ARCH其实是在此基础上的一些“修正”。 我们以上证指数日涨跌幅序列为例：

由于后面的arch库均值方程只支持常数、零均值、AR模型，我们这里建立AR模型，方便对照~

高清源代码请移步：网页链接

首先检验平稳性，是否需要差分。 原假设H0：序列为非平稳的，备择假设H1:序列是平稳的

p-value小于显著性水平，拒绝原假设，因此序列是平稳的，接下来我们建立AR(p)模型，先判定阶次

于是我们建立AR(8)模型，即均值方程

我们利用金融时间序列入门（一）中的混成检验（Ljung-Box),检验序列{at^2}的相关性，来判断是否具有ARCH效应

计算均值方程残差：

画出残差及残差的平方

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然后对{at^2}序列进行混成检验： 原假设H0:序列没有相关性，备择假设H1：序列具有

相关性

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p-value小于显著性水平0.05，我们拒绝原假设，即认为序列具有相关性。因此具有ARCH效应。

首先讲讲ARCH模型的阶次，可以用{at^2}序列的偏自相关函数PACF来确定：

由上面的图我们可以粗略定为4阶。然后建立AR(4)模型

后续的AR模型就不建立了~ 当然，按照上述流程走下来非常麻烦~

事实上arch库可以一步到位~：

根据我们之前的分析，可以粗略选择均值模型为AR(8)模型，波动率模型选择ARCH(4)模型

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可以看出，我们的模型为：

对上述模型，我们可以看出，上证指数的日收益率期望大约在0.16%。 模型的R-squared较小，拟合效果一般。

首先来看整体的预测拟合情况：

可以看出，虽然具体值差距挺大，但是均值和方差的变化相似。下面再看最后10个数据的预测情况

可以看出，光从看涨看跌的角度去看，预测看涨看跌的正确率为60%，当然，其实模型更重要的功能是预测波动率，我们将在下章讲到。

虽然ARCH模型简单，但为了充分刻画收益率的波动率过程，往往需要很多参数，例如上面用到ARCH(4)模型，有时会有更高的ARCH(m)模型。因此，Bollerslev(1986)年提出了一个推广形式，称为广义的ARCH模型（GARCH）

另