①如果一个函数是以T为周期的周期函数，那么它的导函数（当然是在可导的前提下）也以T为周期的周期函数； 补充：若某函数为周期函数，其原函数不一定是周期函数（例子： f ′ ( x ) = 1 − cos ⁡ x 为周期函数，但是 f ( x ) = x − sin ⁡ x + C 不是周期函数 {f}'(x)=1-\cos x为周期函数，但是{f}(x)=x-\sin x+C不是周期函数 f′(x)=1−cosx为周期函数，但是f(x)=x−sinx+C不是周期函数）

②如果一个函数f(x)是以T为周期的周期函数，那么它的原函数（当然是在连续的前提下）减去 x•(∫[0→T]f(t)dt)/T 一定也是以T为周期的周期函数（所以∫[0→T]f(t)dt=0时原函数是周期函数，≠0时原函数不是周期函数）；

③如果一个函数是奇（偶）函数，那么它的导函数（当然是在可导的前提下）是偶（奇）函数；

④如果一个函数是奇函数，那么它的原函数（当然是在连续的前提下）一定是一个偶函数；

⑤如果一个函数f(x)是一个非零的偶函数，那么在它的所有的原函数（当然是在连读的前提下）中只有一个是奇函数（这一个奇函数就是∫[0→x]f(f)dt），其他的原函数都是非奇非偶函数（实际上他就是前面那个奇函数，加上一个非零常数）。

详细以及证明：https://zhuanlan.zhihu.com/p/394171794 视频讲解：https://v.qq.com/x/page/l0874p6j47p.html