一个"分解"含有多项式的分数的方法。

我们可以直接这样做：

像这样：

2 x−2 + 3 x+1 = 2(x+1) + 3(x−2) (x−2)(x + 1)

这便可以简化为：

= 2x+2 + 3x−6 x2+x−2x−2

= 5x−4 x2−x−2

（去看使用有理式来了解更多。）

……但倒转过来怎样做？

以下我们将会探索：

怎样求一个分数的"各部分" （"部分分式"）。

首先……我们为什么需要部分分式？

因为每个部分分式都比较简单。

故此它们可以帮助我们去解比较复杂的分数。比方，在 积分学里，部分分式是非常有用的。

我现在来做个示范。

这叫"部分分式分解"，像这样：

四、现在来找常数！

代入下面的式子的根（"零点"）可能会有用：

那相当容易！……老实说，太容易了……

……其实它可以非常困难！

现在我们详细看每一步。

这方法只适用于真有理式，就是上面的次数是小于下面的次数的有理式。

次数是变量最大的指数。

若式子是假的，先去做多项式长除。

你自己来把下面化为因式。看代数因式分解。

可是不要化为复数……你可能要把一些因式保留为二次式（叫"不可约二次因式"，因为再分解下去就会出现复数了）：

我们只能做成这样：

(x-2)(x+2)(x2+4)

故此，因式可以是

的组合

当你有一个二项式，你便需要包括这部分分式：

B1x + C1（你的二项式）

有时候你可能得到一个有指数的因式，像 (x-2)3……

每个从 1 以上的指数都需要一个部分分式。

像这样：

1(x−2)3

有以下的部分分式：

A1x−2 + A2(x−2)2 + A (x−2)3

二次式也可以一样：

1(x2+2x+3)2

有以下的部分分式：

B1x + C1x2+2x+3 + B2x + C2(x2+2x+3)2

就算用了下面部分的根（零点），你也可能得到未知的常数。

所以下一步是：

合并同类项（x 的指数是相同的项），然后以它为线性方程组来解。

开玩笑！太复杂了！好，我们来看一个例子：

一个复杂的例子！

x2+15(x+3)2 (x2+3)

x2+15(x+3)2(x2+3)  =  A1x+3 + A2(x+3)2 + Bx + Cx2+3

全部乘以 (x+3)2(x2+3):

x2+15 = (x+3)(x2+3)A1 + (x2+3)A2 + (x+3)2(Bx + C)

在x = -3 有个根（因为 x+3=0），所以用它试试：

(-3)2+15 = 0 + ((-3)2+3)A2 + 0

简化为：

24 = 12A2

所以 A2=2

把 2 代入 A2 ：

x2+15 = (x+3)(x2+3)A1 + 2x2+6 + (x+3)2(Bx + C)

展开：

x2+15 = (x3+3x+3x2+9)A1 + 2x2+6 + (x3+6x2+9x)B + (x2+6x+9)C

合并同类项（x的指数是相同的项）：

x2+15 = x3(A1+B)+x2(3A1+6B+C+2)+x(3A1+9B+6C)+(9A1+6+9C)

把每个 x 的指数分开来写，写成线性方程组：

简化并整齐地重排：

好了，去解它！

你可以用你喜欢的方法去解……我就先从第二个方程减去第四个方程：

把第一个方程乘以 2，把结果从第二个方程减去：

现在我们知道 B = -(1/2)。

所以，从第一个方程我们可以算出 A1 = +(1/2)。

接着，从第四个方程我们可以算出 C = +(1/2)。

最后结果：

我们终于得到所有部分分式了：

x2+15 (x+3)2(x2+3)   =   1 2(x+3) + 2 (x+3)2 + −x + 1 2(x2+3)

唷！精疲力竭，但终于做好了！

（附注：我花了差不多 一个小时来做这个，因为 当中我犯了两个错误 ！）