在学习高等数学时，我曾产生了这个问题。经过搜索引擎搜索，我发现很难找到该问题的正确答案，回答者多半当作定积分来计算了，其他的使用分部积分法，然后上传了一个错误地答案。 首先使用分部积分法是没有可能计算出结果的，其结果如下： ∫ e x 2   d x = x e x − ∫ x   d e x 2 = x e x − ∫ e x 2 ⋅ 2 x   d x \int e^{x^2}\,\mathrm{d}x =xe^x-\int x\,\mathrm{d}{e^{x^2}} =xe^x-\int e^{x^2}\cdot 2x\,\mathrm{d}x ∫ex2dx=xex−∫xdex2=xex−∫ex2⋅2xdx 这之后就没有办法往下算了，错者多半是将 2 x 2x 2x抄掉了。

那么是不是该函数不存在原函数呢？ 根据原函数存在定理，不难发现 e x 2 e^{x^2} ex2 在全区间上都是连续函数，因此它的原函数的一定是存在的。

但是，有原函数并不代表它能够用基本初等函数形式来表达。

故我们可以考虑，使用泰勒公式在0点处将 e x 2 e^{x^2} ex2进行展开，计算其收敛域，在它的收敛域上计算不定积分。 ①将 e x 2 e^{x^2} ex2展开为幂级数。 e x 2 = 1 + x 2 + x 4 2 ! + x 6 3 ! + ⋯   + x 2 n n !   + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x 2 n n ! e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\cdots\,+\frac{x^{2n}}{n!}\,+\cdots =\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{n!} ex2=1+x2+2!x4​+3!x6​+⋯+n!x2n​+⋯=n=0∑∞​n!x2n​ ②根据幂级数的收敛域求法： 若 lim ⁡ n → ∞ ∣ a n + 1 a n ∣ = ρ \lim_{n\to\infty}\left\vert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\vert=\rho limn→∞​ ​an​an+1​​ ​=ρ ，则 ∑ n = 0 ∞ a n x n \sum_{n=0}^\infty a_nx^n ∑n=0∞​an​xn 的收敛半径 R R R 的表达式为 R = { 1 ρ , ρ ≠ 0 + ∞ , ρ = 0 0 , ρ = + ∞ R=\begin{cases} \frac{1}{\rho},&\rho\ne0\\ +\infty,&\rho=0\\ 0,&\rho=+\infty \end{cases} R=⎩ ⎨ ⎧​ρ1​,+∞,0,​ρ=0ρ=0ρ=+∞​ 求①中所得幂级数的收敛半径R： ρ = lim ⁡ n → ∞ ∣ 1 ( n + 1 ) ! 1 n ! ∣ = lim ⁡ n → ∞ 1 n + 1 = 0   ⇒ R = + ∞ \rho=\lim_{n\to\infty}\left\vert \frac{\frac{1}{(n+1)!}}{\frac{1}{n!}} \right\vert =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0\, \Rightarrow R=+\infty ρ=n→∞lim​ ​n!1​(n+1)!1​​ ​=n→∞lim​n+11​=0⇒R=+∞ 则①中幂级数的收敛域为 I = ( − ∞ , + ∞ ) I=(-\infty,+\infty) I=(−∞,+∞)。

③根据幂级数求和函数的性质： 幂级数 ∑ n = 0 ∞ a n x n \sum_{n=0}^\infty a_nx^n ∑n=0∞​an​xn 的和函数 S ( x ) S(x) S(x) 在其收敛域 I I I 上可积，且有逐项积分公式 ∫ 0 x S ( t )   d t = ∫ 0 x ∑ n = 0 ∞ a n t n   d t = ∑ n = 0 ∞ a n ∫ 0 x t n   d t = ∑ n = 0 ∞ a n n + 1 x n + 1   (   x ∈ I ) \int_0^xS(t)\,\mathrm{d}t=\int_0^x\sum_{n=0}^\infty a_nt^n\,\mathrm{d}t=\sum_{n=0}^\infty a_n\int_0^xt^n\,\mathrm{d}t=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}\,(\,x\in I) ∫0x​S(t)dt=∫0x​n=0∑∞​an​tndt=n=0∑∞​an​∫0x​tndt=n=0∑∞​n+1an​​xn+1(x∈I) 新的幂级数 ∑ n = 0 ∞ a n n + 1 x n + 1 \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}x^{n+1} ∑n=0∞​n+1an​​xn+1收敛域半径与原级数相同。

因此 e x 2 e^{x^2} ex2的不定积分终于可以计算了： ∫ e x 2   d x = ∫ a x e t 2 d t = ∫ a 0 e t 2 d t   + ∫ 0 x e t 2 d t = ∫ a 0 e t 2 d t   + ∫ 0 x ∑ n = 0 ∞ t 2 n n !   d t = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 )   n !   + C ,      x ∈ ( − ∞ , + ∞ ) \begin{aligned} \int e^{x^2}\,\mathrm{d}x &= \int_a^xe^{t^2}\mathrm{d}t\\&=\int_a^0e^{t^2}\mathrm{d}t\,+\int_0^xe^{t^2}\mathrm{d}t\\&=\int_a^0e^{t^2}\mathrm{d}t\,+\int_0^x\sum_{n=0}^\infty \frac{t^{2n}}{n!}\,\mathrm{d}t\\&=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)\,n!}\,+C,\,\,\,\,x\in (-\infty,+\infty) \end{aligned} ∫ex2dx​=∫ax​et2dt=∫a0​et2dt+∫0x​et2dt=∫a0​et2dt+∫0x​n=0∑∞​n!t2n​dt=n=0∑∞​(2n+1)n!x2n+1​+C,x∈(−∞,+∞)​ 希望对读者有所帮助