幂函数(乘方)｜指数(函数)｜对数(函数)｜及其运算法则

2018-09-23

求n个相同因数的积的运算，叫做乘方(power)，乘方的结果叫做幂(power)，在a^n(n 标在右上角)中，a叫做底数，n叫做指数，当a^n(n标在右上角)看作a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂。

比如：3^2=9(2在右上角)这个运算叫做乘方(像1+1=2这个运算叫加法 )在这个式子中，幂就是9，就是这个运算的结果。在这个式子中，底数是3，指数是2。有的时候把这个 a^n 就看做一个结果，就是一个数，读作a的n次幂。在这个式子中，就读3的2次幂。

------------------------------------------------

乘方是表示几个相同的数成积的形式。它的相同因数叫做底数，乘的次数叫做指数，乘出来的得数(乘方的结果)为幂。

Ex：2^3=8 2是底数，3是指数，8是幂。9^6=531441，9是底数，6是指数，531441是幂。

----------------------------------------------

(数学中的幂)

幂指乘方运算的结果。n^m指将n自乘m次。把n^m看作乘方的结果，叫做n的m次幂。

其中，n称为底，m称为指数(写成上标)。

当不能用上标时，例如在编程语言或电子邮件中，通常写成n^m或n**m，亦可以用高德纳箭号表示法，写成n↑m，读作“n的m次方”。

当指数为1时，通常不写出来，因为那和底的数值一样；指数为2、3时，可以读作“n的平方”、“n的立方”。

n^m的意义亦可视为1×n×n×n...︰起始值1(乘法的单位元)底数相乘指数这麼多次。

这样定义了后，很易想到如何一般化指数0和负数的情况︰

除了0之外所有数的零次方都是1，即n^0=1；

幂的指数是负数时，等于1/n^m。

分数为指数的幂定义为x^m/n = n√x^m

幂不符合结合律和交换律。

因为十的次方很易计算，只需在後加零即可，所以科学记数法借助此简化记录数的方式；二的次方在计算机科学中很有用。

同底数幂：同底数幂是指底数相同的幂(同底数幂的意义)。

关于幂(即指数)的运算法则

幂的运算法则 上海市同洲模范学校/宋立峰

关于整数指数幂，运算法则要记住。

指数加减底不变，同底数幂相乘除。

指数相乘底不变，幂的乘方要清楚。

积商乘方原指数，换底乘方再乘除。(axb)^n=a^n X b^n

非零数的零次幂，常值为1不糊涂。

负整数的指数幂，指数转正求倒数。

-------------------------------------------------

有理数的指数幂，运算法则要记住。

指数加减底不变，同底数幂相乘除。

指数相乘底不变，幂的乘方要清楚。

积商乘方原指数，换底乘方再乘除。

非零数的零次幂，常值为 1不糊涂。

负整数的指数幂，指数转正求倒数。

看到分数指数幂，想到底数必非负。

乘方指数是分子，根指数要当分母。

1、同底数幂的乘法：底数不变，指数相加 a^m·a^n=a^(m+n) (m，n属于有理数)

2、同底数幂的除法：底数不变，指数相减 a^m÷a^n=a^(m-n) (a不等于0，m，n属于有理数)

3、幂的乘方：底数不变，指数相乘 (a^m)^n=a^mn )；(m，n属于有理数)

4、积的乘方：等于各因数分别乘方的积 a^m·b^m=(ab)^m ；(n属于有理数)

5、商的乘方(分式乘方)：分子分母分别乘方，指数不变a^m÷b^m=(a/b)^m

----------------------------------------------------------------------

指数(幂)的计算核心在于两点：一个是指数的基本公式的应用；另一个是转化形式，比如统一底数或指数，然后比较大小。

例：

已知3x＋3－x＝5，求下列各式的值：(1)9x＋9－x；(2)27x＋27－x；(3)3x－3－x．(精英家教网)

解析：

(1)9x＋9－x＝(3x)2＋(3－x)2＝(3x＋3－x)2－2·3x·3－x＝52－2＝23；

(2)27x＋27－x＝(3x)3＋(3－x)3＝(3x＋3－x)[(3x)2－3x·3－x＋(3－x)2]＝(3x＋3－x)(9x＋9－x－1)＝5(23－1)＝110；

(3)3x－3－x＝±

．

点评：整体思想是常见的数学思想之一，通过整体代入、整体运算、整体消元、整体合并等方法，可以将运算过程简化，提高解题效率．另外，对于本题，也可以将3x看成整体作为一个未知数，先求出3x的值，然后再代入求解，但这种解法较繁琐，是一种不经济的解法．

提示：根据已知条件，寻找结论与条件之间的关系，发现可以通过整体变换来解．

难点：

对数：一般地，如果a(a大于0，a不等于1)的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作b=log aN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

知识点：对数的概念及其运算性质

a^logb N=N^logb a

误区提醒

---------------------------------------------

幂函数：形如Y=x^a(a为常数)的函数(即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。)

指数函数：指数函数的一般形式为y=a^x(a大于0，a不等于1)(x属于R)，它是初等函数的一种，是定义在实数域上的单调、无上界的正值函数。

对数函数：一般地，我们把函数y=log a x(a大于0，a不等于1)叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域为(0，+无穷)。

数理天地：http://m.anoah.com/app/sltd/?c=main&a=detail&id=18117&knowapplyid=3612********

高中数学必修1对数函数的图像性质(北师大版)

理解对数函数图象与对数函数性质间的对应关系

要求掌握对数函数的概念

对数函数图像、性质及例题

1、定义：一般地，函数

叫做对数函数，其中x是自变量。

2、对数函数的性质：

例1. 求值：(1)

(2)

(3)

解析：(1)

(2)

(3)

点评：

(1)注意计算公式的灵活运用；

(2)同学们在学习时由于分不清

导致计算错误的现象很多；

(3)

在进行对数运算中经常用到。

例2. 已知

，求

的值。

解析：

法1：

，

而

，

所以

。

法2：

从而

法3：

从而

点评：解法1借助指数变形来解；解法2与解法3是利用换底公式来解，显得较简明。应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数，从而把已知对数和所求对数都换成新的对数，再代入求值即可。

例3. 已知

，则a，b，1的大小关系是________________

解析：

法1：由

，

是增函数，故b > a > 1.

法2：设

，则有

，从而

。

由已知，x > y > 0

，考虑到函数

是增函数，所以

，即b > a > 1.

点评：指数函数和对数函数的单调性在比较大小时用处很大，也很灵活。

上海高一上数学4.5对数函数的图像与性质

免责声明：本文仅代表文章作者的个人观点，与本站无关。其原创性、真实性以及文中陈述文字和内容未经本站证实，对本文以及其中全部或者部分内容文字的真实性、完整性和原创性本站不作任何保证或承诺，请读者仅作参考，并自行核实相关内容。

http://www.pinlue.com/style/images/nopic.gif