在单变量回归中, 一个平稳的时间序列 y_{t} 经常被模型化为 A R 过程:

y_{t}=\alpha_{0}+\alpha_{1} y_{t-1}+\alpha_{2} y_{t-2}+\cdots+\alpha_{k} y_{t-k}+\epsilon_{t} \\

当我们分析多个时间序列时，一个对 A R 模型自然的拓展就是 VAR 模型， 在这个模型中一组向量里的每个时间序列被模型 化为决定于自己的滞后项以及这组向量里所有其他变量的滞后项。两阶 VAR 模型如下式:

\begin{aligned} y_{t} &=\alpha_{0}+\alpha_{1} y_{t-1}+\alpha_{2} x_{t-1}+\epsilon_{1 t} \\ x_{t} &=\beta_{0}+\beta_{1} y_{t-1}+\beta_{2} x_{t-1}+\epsilon_{2 t} \end{aligned} \\

经济学家通常使用这种形式的模型分析宏观数据、做出因果推断并提供政策建议。在这篇推文中，我会用美国失业率、通胀率以及名义利率估计一个三变量 VAR 模型。这个 VAR 模型类似于宏观经济中做 货币政策分析的模型。这篇文章的主要关注点在于该模型的基本估计和估计结果评估， 数据和 do文件在文末提供。背景知 识和理论细节可以在这篇文章中获得。

当使用 VAR 模型进行估计时，我们需要做两个决定。第一个是需要选择将那些变量放入 VAR 模型中，这个决定一般取决 于研究问题和相关文献。第二个决定是需要选择滞后阶数。决定了滞后阶数后，就可以开始估计。得到估计结果后, 需要 对结果进行评估分析看其是否符合模型设定。 本文使用 1995-2005年间美国失业率、CPI和短期名义利率的季度观测值对模型进行估计，数据来源于联邦经济数据库。 在stata 数据集中, inflation为 CPI, unrate 为失业率,ffr则表示利率。因此，本文估计的 VAR 模型为:

\left[\begin{array}{c} \text { inflation }_{t} \\ \text { unrate }_{t} \\ \mathrm{ffr}_{t} \end{array}\right]=a_{0}+A_{1}\left[\begin{array}{c} \text { in flation }_{t-1} \\ \text { unrate }_{t-1} \\ \text { ffr }_{t-1} \end{array}\right]+\cdots+A_{k}\left[\begin{array}{c} \text { inflation }_{t-k} \\ \text { unrate }_{t-k} \\ \text { ffr }_{t-k} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} \epsilon_{1, t} \\ \epsilon_{2, t} \\ \epsilon_{3, t} \end{array}\right] \\

其中， a_{0} 是由截距项组成的向量， A_{1} 到 A_{K} 均为 3 \times 3 的系数矩阵。包含这些变量的 VAR 模型或相近的模型变体经常 出现在货币政策分析中。

下一步是决定一个合理的滞后阶数，我使用 \operatorname{varsoc} 命令执行滞后结束选择测试。

varsoc 展示了之后滞后阶数选择检验的主要结果，检验的细节可以通过 help varsoc 得到。似然比和 AIC 都推荐选择六阶滞后，因此本文选择六阶滞后。

有了变量和滞后阶数，需要估计系数矩阵和误差项的协方差矩阵。系数估计可以通过对 VAR 模型中的每个等式做 OLS 回归得到，误差项的协方差矩阵则需要根据样本残差的协方差矩阵进行估计。var命令可以同时实现这两个矩阵的估计，其结果中系数矩阵会默认给出，误差项的协方差矩阵则可以 e(Sigma)中找到：

var 命令的报告结果以矩阵形式报告，每个方程以其因变量的名字命名，因此会报告三个方程：通胀方程、失业率方程以 及利率方程。e(Sigma)中则保存 VAR模型估计残差的协方差矩阵。注意各个方程的残差相关。 如你所见，估计系数表格非常长。即使不考虑常数项, 一个有 n 个变量和 k 阶滞后的VAR 模型中也会有 k n^{2} 个系数。我 们的 3 变量, 6 阶滞后的VAR 则有将近 60 个系数，但是我们却仅有 198 个观测。选项 dfk 和 \operatorname{sma11} 将对默认情形下 报告的大样本统计量进行小样本调整。虽然结果会报告系数、标准误、 t 统计量、 p 统计量等，但是并不能给我们直观的信 息含量，因此很多论文甚至都不会报告这些系数表格，但是他们会报告一些更有信息量的统计量。接下来的两部分将会介 绍两个 VAR 结果分析中常用的统计手段：格兰杰因果检验和脉冲响应函数。

详细内容参见连享会推文