其中A,B,C三相电压

{ v a = s i n ( w t ) v b = s i n ( w t − 12 0 o ) v c = s i n ( w t − 24 0 o ) \begin{cases}v_a=sin(wt)\\v_b=sin(wt-120^{o})\\v_c=sin(wt-240^{o}) \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧​va​=sin(wt)vb​=sin(wt−120o)vc​=sin(wt−240o)​

合成矢量

V ⃗ = s i n ( w t ) e i 0 + s i n ( w t − 12 0 o ) e i 12 0 o + s i n ( w t − 24 0 o ) e i 24 0 o \vec{V}=sin(wt)e^{i0}+sin(wt-120^{o})e^{i120^{o}}+sin(wt-240^{o})e^{i240^{o}} V =sin(wt)ei0+sin(wt−120o)ei120o+sin(wt−240o)ei240o

化简后

V ⃗ = 3 2 ( s i n ( w t ) − c o s ( w t ) i ) \vec{V}=\frac{3}{2}(sin(wt)-cos(wt)i) V =23​(sin(wt)−cos(wt)i)

所以在两相静止坐标系下有

{ V β = − 3 2 c o s ( w t ) V α = 3 2 s i n w t \begin{cases} V_{\beta}=-\frac{3}{2}cos(wt)\\V_{\alpha}=\frac{3}{2}sin{wt} \end{cases} {Vβ​=−23​cos(wt)Vα​=23​sinwt​

从相角来看， V α V_{\alpha} Vα​与 v a v_{a} va​同相位， V β V_{\beta} Vβ​与 v a v_{a} va​的相位相差 9 0 o 90^{o} 90o

从幅值来看，合成矢量的幅值是A相电压的 3 2 \frac{3}{2} 23​倍；如果进行恒定幅值变换，两者的幅值相等；如果是恒定功率变换，合成矢量的幅值是A相电压的 ( 3 2 ) \sqrt(\frac{3}{2}) ( ​23​)倍

变换矩阵如下

[ U α U β 0 ] \begin{bmatrix} U_{\alpha}\\U_{\beta}\\0 \end{bmatrix} ⎣⎡​Uα​Uβ​0​⎦⎤​= m ∗ [ 1 − 1 2 − 1 2 0 3 2 − 3 2 1 2 1 2 1 2 ] m*\begin{bmatrix} 1&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\0&\frac{\sqrt{3}}{2}&-\frac{\sqrt{3}}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2} \end{bmatrix} m∗⎣⎡​1021​​−21​23 ​​21​​−21​−23 ​​21​​⎦⎤​ [ v a v b v c ] \begin{bmatrix}v_a\\v_b\\v_c\end{bmatrix} ⎣⎡​va​vb​vc​​⎦⎤​

m = 2 3 m=\frac{2}{3} m=32​时为恒定幅值变换

m = ( 2 3 ) m=\sqrt(\frac{2}{3}) m=( ​32​)时为恒定功率变换

Park变换如下

φ \varphi φ为 U d U_d Ud​和 v α v_{\alpha} vα​的夹角

带入到Clark变换矩阵可以得到Park变换矩阵

从相角来看，Park变换为直流，不存在相角在这里插入图片描述

从幅值来看，恒定幅值变换下， v d 2 + v q 2 = v a 2 v^2_d+v^2_q=v^2_a vd2​+vq2​=va2​,恒定功率下， v d 2 + v q 2 = ( 3 2 ) v a 2 v^2_d+v^2_q=\sqrt(\frac{3}{2})v^2_a vd2​+vq2​=( ​23​)va2​

恒定幅值下的Clark、Park变换( φ 0 = 0 \varphi_0=0 φ0​=0)

恒定幅值下的Park变换( φ 0 = 6 0 o \varphi_0=60^o φ0​=60o)

恒定功率下的Clark、Park变换( φ 0 = 0 \varphi_0=0 φ0​=0)