欢迎纠错

常用极限，导数，级数 秒杀必背积分表实数部分 秒杀必背积分表三角部分

sec ⁡ 2 x − tan ⁡ 2 x = 1   csc ⁡ 2 x − cot ⁡ 2 x = 1   ∫ sec ⁡ x d x = l n ∣ sec ⁡ x + tan ⁡ x ∣ + C   ∫ csc ⁡ x d x = l n ∣ csc ⁡ x − cot ⁡ x ∣ + C   ∫ tan ⁡ x d x = − ln ⁡ ∣ cos ⁡ x ∣ + C   ∫ cot ⁡ x d x = ln ⁡ ∣ sin ⁡ x ∣ + C   \sec^2x-\tan^2x=1\\\ \\ \csc^2x-\cot^2x=1\\\ \\ \int \sec x dx=ln|\sec x+\tan x|+C\\\ \\ \int \csc x dx=ln|\csc x-\cot x|+C\\\ \\ \int \tan xdx=-\ln |\cos x |+C\\\ \\ \int \cot xdx=\ln |\sin x|+C\\\ \\ sec2x−tan2x=1 csc2x−cot2x=1 ∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+C ∫cscxdx=ln∣cscx−cotx∣+C ∫tanxdx=−ln∣cosx∣+C ∫cotxdx=ln∣sinx∣+C 

∫ arcsin ⁡ x d x = x arcsin ⁡ x + 1 − x 2 + C   ∫ arccos ⁡ x d x = x arccos ⁡ x − 1 − x 2 + C   ∫ arctan ⁡ x d x = x arctan ⁡ x − 1 2 ln ⁡ ( 1 + x 2 ) + C   ∫ a r c c o t x d x = π 2 x − ∫ arctan ⁡ x d x \int \arcsin x dx=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C\\\ \\ \int \arccos xdx=x\arccos x-\sqrt{1-x^2}+C\\\ \\ \int \arctan x dx=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C\\\ \\ \int arccot x dx=\frac{\pi}{2}x-\int \arctan x dx ∫arcsinxdx=xarcsinx+1−x2 ​+C ∫arccosxdx=xarccosx−1−x2 ​+C ∫arctanxdx=xarctanx−21​ln(1+x2)+C ∫arccotxdx=2π​x−∫arctanxdx

∫ sin ⁡ n x cos ⁡ m x d x   m ， n 至 少 一 奇 数 ， 凑 偶 数 项 m ， n 均 为 偶 数 ， 倍 角 降 幂   s e c 偶 凑 t a n ， s e c 奇 凑 s e c \int \sin^nx \cos^m xdx\\\ \\ m，n至少一奇数，凑偶数项\\m，n均为偶数，倍角降幂\\\ \\ sec偶凑tan，sec奇凑sec ∫sinnxcosmxdx m，n至少一奇数，凑偶数项m，n均为偶数，倍角降幂 sec偶凑tan，sec奇凑sec

三 角 有 理 函 数 积 分 ① 若 R ( − sin ⁡ x , cos ⁡ x ) = − R ( sin ⁡ x , cos ⁡ x ) ， 凑 d cos ⁡ x ② 若 R ( sin ⁡ x , − cos ⁡ x ) = − R ( sin ⁡ x , cos ⁡ x ) ， 凑 d sin ⁡ x ③ 若 R ( − sin ⁡ x , − cos ⁡ x ) = R ( sin ⁡ x , cos ⁡ x ) ， 凑 d tan ⁡ x     ∫ 0 π 2 f ( cos ⁡ x , sin ⁡ x ) d x = ∫ 0 π 2 f ( sin ⁡ x , cos ⁡ x ) d x   ∫ 0 π x f ( sin ⁡ x ) d x = π 2 ∫ 0 π f ( sin ⁡ x ) d x = π ∫ 0 π 2 f ( sin ⁡ x ) d x = π ∫ 0 π 2 f ( cos ⁡ x ) d x   ∫ 0 π x f ( ∣ cos ⁡ x ∣ ) d x = π 2 ∫ 0 π f ( ∣ cos ⁡ x ∣ ) d x = π ∫ 0 π 2 f ( cos ⁡ x ) d x = ∫ 0 π x f ( sin ⁡ x ) d x   ∫ 0 1 x m ( 1 − x ) n d x = ∫ 0 1 ( 1 − x ) m x n d x 三角有理函数积分\\ ①若R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x, \cos x)，凑d\cos x\\ ②若R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x, \cos x)，凑d\sin x\\ ③若R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x, \cos x)，凑d\tan x\\\ \\ \\\ \\ \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x,\sin x)dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x,\cos x)dx\\\ \\ \int_0^\pi xf(\sin x) dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin x) dx=\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx = \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx\\\ \\ \int_0^\pi xf(|\cos x|) dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(|\cos x|) dx=\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx =\int_0^\pi xf(\sin x) dx\\\ \\ \int_0^1x^m(1-x)^ndx = \int_0^1(1-x)^mx^ndx 三角有理函数积分①若R(−sinx,cosx)=−R(sinx,cosx)，凑dcosx②若R(sinx,−cosx)=−R(sinx,cosx)，凑dsinx③若R(−sinx,−cosx)=R(sinx,cosx)，凑dtanx  ∫02π​​f(cosx,sinx)dx=∫02π​​f(sinx,cosx)dx ∫0π​xf(sinx)dx=2π​∫0π​f(sinx)dx=π∫02π​​f(sinx)dx=π∫02π​​f(cosx)dx ∫0π​xf(∣cosx∣)dx=2π​∫0π​f(∣cosx∣)dx=π∫02π​​f(cosx)dx=∫0π​xf(sinx)dx ∫01​xm(1−x)ndx=∫01​(1−x)mxndx

∫ 0 π sin ⁡ θ   d θ = 2   ∫ 0 π 2 sin ⁡ n θ cos ⁡ θ   d θ = ∫ 0 π 2 sin ⁡ θ cos ⁡ n θ   d θ = 1 n + 1   ∫ 0 π sin ⁡ 2 θ   d θ = ∫ 0 π cos ⁡ 2 θ   d θ = π 2   ∫ 0 π sin ⁡ 3 θ   d θ = 3 4   ;   ∫ 0 π cos ⁡ 3 θ   d θ = 0   ∫ 0 π sin ⁡ 4 θ   d θ = ∫ 0 π cos ⁡ 4 θ   d θ = 3 π 8   ∫ 0 π sin ⁡ 5 θ   d θ = 16 15   ;   ∫ 0 π cos ⁡ 5 θ   d θ = 0   ∫ 0 π sin ⁡ 6 θ   d θ = ∫ 0 π cos ⁡ 6 θ   d θ = 5 π 16   \int_0^\pi \sin \theta \space d\theta=2\\\ \\ \int_0^{\frac \pi 2}\sin^n \theta \cos \theta \space d\theta =\int_0^{\frac \pi 2}\sin \theta \cos^n \theta \space d\theta =\frac{1}{n+1}\\\ \\ \int_0^\pi \sin^2 \theta\space d\theta=\int_0^\pi \cos^2 \theta\space d\theta=\frac \pi 2\\\ \\ \int_0^\pi \sin^3\theta\space d\theta=\frac 3 4 \space ; \space \int_0^\pi \cos^3 \theta\space d\theta=0\\\ \\ \int_0^\pi \sin^4 \theta\space d\theta=\int_0^\pi \cos^4 \theta\space d\theta=\frac {3\pi} 8\\\ \\ \int_0^\pi \sin^5\theta\space d\theta=\frac {16} {15} \space ; \space \int_0^\pi \cos^5 \theta\space d\theta=0\\\ \\ \int_0^\pi \sin^6 \theta\space d\theta=\int_0^\pi \cos^6 \theta\space d\theta=\frac {5\pi} {16}\\\ \\ ∫0π​sinθ dθ=2 ∫02π​​sinnθcosθ dθ=∫02π​​sinθcosnθ dθ=n+11​ ∫0π​sin2θ dθ=∫0π​cos2θ dθ=2π​ ∫0π​sin3θ dθ=43​ ; ∫0π​cos3θ dθ=0 ∫0π​sin4θ dθ=∫0π​cos4θ dθ=83π​ ∫0π​sin5θ dθ=1516​ ; ∫0π​cos5θ dθ=0 ∫0π​sin6θ dθ=∫0π​cos6θ dθ=165π​  ∫ 0 π 2 sin ⁡ n θ d θ = { ( n − 1 ) ( n − 3 ) ⋯ 4 ⋅ 2 n ( n − 2 ) ( n − 4 ) ⋯ 5 ⋅ 3 ， n 为 奇 整 数   ( n − 1 ) ( n − 3 ) ⋯ 5 ⋅ 3 ⋅ 1 n ( n − 2 ) ( n − 4 ) ⋯ 4 ⋅ 2 π 2 ， n 为 偶 整 数 \int_0^{\frac \pi 2}\sin^n\theta d\theta=\left \{ \begin{array}{c} \frac{(n-1)(n-3)\cdots4\cdot2}{n(n-2)(n-4)\cdots5\cdot3}，n为奇整数\\\ \\ \frac{(n-1)(n-3)\cdots5\cdot3\cdot1}{n(n-2)(n-4)\cdots4\cdot2}\frac{\pi}{2}，n为偶整数 \end{array} \right. ∫02π​​sinnθdθ=⎩⎪⎨⎪⎧​n(n−2)(n−4)⋯5⋅3(n−1)(n−3)⋯4⋅2​，n为奇整数 n(n−2)(n−4)⋯4⋅2(n−1)(n−3)⋯5⋅3⋅1​2π​，n为偶整数​

{ ∫ e a x sin ⁡ b x   d x = 1 a 2 + b 2 ∣ ( e a x ) ′ ( sin ⁡ b x ) ′ e a x sin ⁡ b x ∣ + C   ∫ e a x cos ⁡ b x   d x = 1 a 2 + b 2 ∣ ( e a x ) ′ ( cos ⁡ b x ) ′ e a x cos ⁡ b x ∣ + C \left \{ \begin{array}{c} \int e^{ax}\sin bx\space dx=\frac{1}{a^2+b^2} \begin{vmatrix}(e^{ax}) ' & (\sin bx) ' \\ e^{ax} & \sin bx\\ \end{vmatrix}+C\\\ \\ \int e^{ax}\cos bx\space dx=\frac{1}{a^2+b^2} \begin{vmatrix}(e^{ax}) ' & (\cos bx) ' \\ e^{ax} & \cos bx\\ \end{vmatrix}+C \end{array} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧​∫eaxsinbx dx=a2+b21​∣∣∣∣​(eax)′eax​(sinbx)′sinbx​∣∣∣∣​+C ∫eaxcosbx dx=a2+b21​∣∣∣∣​(eax)′eax​(cosbx)′cosbx​∣∣∣∣​+C​

唯 几 一 个 有 负 号 的 cos ⁡ （ π / 2 + α ） = − sin ⁡ α tan ⁡ （ π / 2 + α ） = − cot ⁡ α cot ⁡ （ π / 2 + α ） = − tan ⁡ α 唯几一个有负号的\\\cos（π/2+α）=-\sin α\\\tan（π/2+α）=-\cotα\\\cot（π/2+α）=-\tanα 唯几一个有负号的cos（π/2+α）=−sinαtan（π/2+α）=−cotαcot（π/2+α）=−tanα sin ⁡ ( w ( π − x ) ) = sin ⁡ w x , w 为 奇 数 sin ⁡ ( k ( π − x ) ) = − sin ⁡ k x , k 为 偶 数 \sin (w(\pi-x))=\sin wx,w为奇数\\\sin(k(\pi-x))=-\sin kx,k为偶数 sin(w(π−x))=sinwx,w为奇数sin(k(π−x))=−sinkx,k为偶数 sin ⁡ ( n 2 π ) , n ∈ 1 , 2 , 3 ⋯ = ( − 1 ) n − 1 2 , n ∈ 1 , 3 , 5 ⋯   cos ⁡ ( n 2 π ) , n ∈ 1 , 2 , 3 ⋯ = ( − 1 ) n 2 , n ∈ 2 , 4 , 6 ⋯ \sin(\frac n 2\pi),n\in1,2,3\cdots=(-1)^{\frac{n-1}2},n\in 1,3,5\cdots\\\ \\ \cos(\frac n 2\pi),n\in1,2,3\cdots=(-1)^{\frac{n}2},n\in 2,4,6\cdots sin(2n​π),n∈1,2,3⋯=(−1)2n−1​,n∈1,3,5⋯ cos(2n​π),n∈1,2,3⋯=(−1)2n​,n∈2,4,6⋯